Les nombres décimaux

I · Partager l'unité

II · L'écriture à virgule, et ce qu'est un nombre décimal

Le tableau de numération continue à droite des unités

Le nombre écrit dans la dernière ligne se lit quarante-cinq unités et deux cent sept millièmes. On l'écrit 45,207.

III · Le même nombre, plusieurs écritures

Écrire le même nombre de plusieurs façons

Le nombre 2,45 s'écrit de quatre manières.

1. Écriture à virgule : 2,45

2. Fraction décimale : 245100

3. Nombre mixte — un entier plus une fraction inférieure à 1 : ....................................................

4. Somme de fractions décimales : 2 + 410 + 5100

Et pour un nombre inférieur à 1, on peut aussi employer un pourcentage : 45100 = 0,45 = 45 %.

IV · La demi-droite graduée

Placer un nombre décimal sur une graduation

Pour placer 2,3 :

1. Repérer les deux entiers qui l'encadrent : .....................

2. Regarder en combien de parts égales l'intervalle est partagé. Si c'est 10, chaque part vaut un dixième.

3. Compter ............ parts à partir de 2.

V · Comparer et ranger

VI · Encadrer, intercaler, arrondir

Essentiel — à faire

1. Une bande de papier, et il faut écrire ce qui reste≈ 13 min

Partager la bande en dix parts égales, puis écrire la fraction qui correspond à une part.

La bande de papier reçue est l'unité.

a. Plier la bande en dix parts égales et découper une part. Écrire la fraction de cette part.

b. Plier cette part en dix, puis découper. Écrire la fraction qui correspond.

c. Combien faut-il de parts de la question b pour refaire la bande entière ?

d. Recommencer une fois. Écrire la fraction, et dire pourquoi il devient difficile de découper.

Corrigé

a. Une part vaut 110 de la bande : un dixième d'unité.

b. Une part de part vaut 1100 : un centième d'unité. La bande a été partagée en 10, puis chaque part encore en 10, soit 100 parts en tout.

c. Il en faut 100. On peut le vérifier en recollant, ou en raisonnant : 10 parts pour refaire un dixième, et 10 dixièmes pour refaire l'unité, donc 10 × 10 = 100.

d. On obtient 11000, un millième d'unité. Sur une bande de 20 cm, un millième mesure 0,2 mm : c'est plus fin que le trait du crayon. La difficulté est physique, pas mathématique — le nombre, lui, existe très bien.

Le mot qui compte : on ne dit pas « un dixième » tout court, on dit « un dixième d'unité ». Tant que l'unité n'est pas nommée, la fraction ne désigne rien.

2. Le tableau de numération continue à droite≈ 12 min

Placer chaque nombre dans le tableau de numération, un chiffre par colonne.

a. Placer 3,5 puis 3,05 puis 3,50 dans un tableau de numération prolongé après les unités.

b. Deux de ces trois nombres sont égaux. Lesquels ?

c. Écrire en toutes lettres le nombre 45,207.

d. Écrire en chiffres : douze unités et quatre centièmes.

Corrigé

a. Chaque chiffre occupe une seule colonne, et la virgule ne bouge pas :

b. 3,5 et 3,50 sont égaux. Le zéro de 3,50 est tout à la fin de la partie décimale : il n'ajoute aucun centième. Dans 3,05, le zéro est entre la virgule et le 5 : il occupe le rang des dixièmes, et repousse le 5 au rang des centièmes. 3,05 est donc dix fois plus petit que 3,5 pour cette part.

c. Quarante-cinq unités et deux cent sept millièmes.

d. 12,04. Le piège est le zéro : quatre centièmes, c'est zéro dixième et quatre centièmes.

3. Le chiffre des dixièmes, et le nombre de dixièmes≈ 8 min

Indiquer pour chaque nombre le chiffre demandé, puis le nombre demandé.

On considère le nombre 687,432.

a. Quel est le chiffre des dixièmes ? Et le nombre de dixièmes ?

b. Quel est le chiffre des centièmes ? Et le nombre de centièmes ?

c. Expliquer en une phrase la différence entre le chiffre et le nombre de dixièmes.

Corrigé

a. Le chiffre des dixièmes est 4. C'est le chiffre qui occupe ce rang, rien de plus. Le nombre de dixièmes est 6 874. On lit tout ce qui est à gauche du rang des dixièmes, ce rang compris : 687 unités font 6 870 dixièmes, auxquels s'ajoutent les 4 dixièmes.

b. Le chiffre des centièmes est 3. Le nombre de centièmes est 68 743.

c. Le chiffre d'un rang est un seul chiffre : il dit ce qui est écrit à cette place. Le nombre d'unités de ce rang dit combien il y en a en tout dans le nombre.

Le même piège qu'au chapitre 1, avec les dizaines. La règle n'a pas changé en passant la virgule.

4. Le tri des étiquettes≈ 14 min

Grouper les étiquettes qui désignent le même nombre.

a. Écrire chaque groupe sur le cahier, et indiquer combien d'étiquettes il contient.

b. Une étiquette n'a aucune camarade. Laquelle, et pourquoi ?

Les douze étiquettes :

45100 · 0,45 · 45 % · 410+5100 · 2,45 · 245100 · 2+45100 · 710 · 0,7 · 0,70 · 4,5 · 4510

Corrigé

On regroupe en calculant ce que vaut chaque étiquette, jamais en comparant leur allure. Le plus sûr est de tout ramener à l'écriture à virgule avant de comparer.

a. Il y a quatre groupes, de tailles différentes — et c'est ce qui empêche d'apparier au hasard.

b. Aucune étiquette n'est réellement seule : le dernier groupe en contient deux. La question est un piège, et il faut le dire. Beaucoup d'élèves déclarent 45 % isolée parce qu'elle ne ressemble à rien d'autre, ou 4510 parce qu'elle ressemble trop à 45100.

Ce qu'il faut retenir : deux écritures qui se ressemblent ne désignent pas forcément le même nombre — 45100 vaut 0,45 et 4510 vaut 4,5. La seule façon de trancher est de calculer ce que chacune vaut.

5. Graduer soi-même, puis placer≈ 13 min

Tracer une demi-droite graduée au dixième, puis y placer les nombres demandés.

Sur le papier millimétré, l'unité de longueur est 5 cm.

a. Tracer une demi-droite, marquer l'origine 0, puis reporter l'unité pour placer 1, 2 et 3.

b. Partager chaque intervalle en dix parts égales.

c. Placer les points d'abscisses 0,4 puis 1,7 puis 2,3.

d. Combien de traits de graduation y a-t-il entre 0 et 1, en comptant celui de 0 et celui de 1 ?

Corrigé

a. Tracer la demi-droite le long d'une ligne du papier millimétré, marquer l'origine et écrire 0 dessous. Reporter ensuite 5 cm trois fois de suite, à la règle ou au compas, et écrire 1, 2 et 3 sous les trois traits obtenus. Les reports doivent partir du trait précédent, jamais de l'origine : sinon les écarts se creusent.

b. Chaque unité mesure 5 cm, donc chaque dixième mesure 5 mm. Sur du papier millimétré, c'est cinq carreaux : la graduation se fait sans mesurer.

c. Pour 0,4 : quatre parts après 0. Pour 1,7 : sept parts après 1. Pour 2,3 : trois parts après 2.

d. Il y a onze traits, et dix intervalles.

C'est là que se joue l'erreur la plus fréquente du chapitre. Ce qu'on compte pour placer un nombre, ce sont les intervalles, pas les traits. Dix parts égales, onze traits pour les délimiter — comme il faut onze poteaux pour dix travées de clôture.

6. L'erreur de Malo≈ 12 min

Expliquer pourquoi le raisonnement de Malo ne fonctionne pas.

Malo affirme : « 4,27 est plus grand que 4,5, parce que 27 est plus grand que 5. »

a. Placer 4,27 et 4,5 sur une demi-droite graduée au centième entre 4 et 5.

b. Écrire les deux nombres avec le même nombre de chiffres après la virgule.

c. Malo a-t-il raison ? Écrire la comparaison correcte avec un signe.

d. Expliquer en une phrase ce que Malo a pensé, et pourquoi ça ne marche pas.

Corrigé

a. 4,27 se place à 27 centièmes après 4. 4,5 se place à 50 centièmes après 4. 4,5 est plus loin.

b. 4,27 et 4,50. Écrits ainsi, la comparaison saute aux yeux : 27 centièmes contre 50 centièmes.

c. Malo a tort. 4,27 < 4,5.

d. Malo a lu « 27 » et « 5 » comme deux nombres entiers, et il a comparé 27 et 5. Ça ne marche pas parce que les chiffres après la virgule ne forment pas un nombre : chacun occupe un rang. Le 2 de 4,27 est au rang des dixièmes, le 5 de 4,5 aussi — et 2 est plus petit que 5.

La règle qui en sort : on compare les parties entières ; si elles sont égales, on compare les chiffres des dixièmes ; puis ceux des centièmes, et ainsi de suite.

7. Y a-t-il un nombre entre 4,2 et 4,3 ?≈ 12 min

Chercher un nombre décimal compris entre les deux nombres proposés.

a. Existe-t-il un nombre décimal compris entre 4,2 et 4,3 ? Si oui, en donner un.

b. Existe-t-il un nombre décimal compris entre 4,25 et 4,26 ? Si oui, en donner un.

c. Existe-t-il un nombre décimal compris entre 4,254 et 4,255 ? Si oui, en donner un.

d. Que peut-on dire, à la fin ?

Corrigé

a. Oui. Par exemple 4,25. On repartage l'intervalle entre 4,2 et 4,3 en dix : on obtient 4,21 ; 4,22 ; … ; 4,29. Neuf nombres apparaissent.

b. Oui. Par exemple 4,255. On recommence : on partage l'intervalle en dix, au rang des millièmes.

c. Oui. Par exemple 4,2545. Le procédé ne s'arrête pas.

d. Entre deux nombres décimaux différents, il y en a toujours un autre. À chaque fois qu'on croit être arrivé au bout, il suffit de repartager en dix.

Pourquoi c'est surprenant. Avec les nombres entiers, ce n'est pas vrai : entre 4 et 5 il n'y a aucun entier. Les décimaux ne se suivent pas comme les entiers — ils n'ont pas de « suivant ».

Consolidation — pour stabiliser

8. Passer d'une écriture à l'autre≈ 10 min

Compléter le tableau en donnant les écritures manquantes de chaque nombre.

Compléter le tableau. Une case barrée signifie que l'écriture n'existe pas pour ce nombre.

Corrigé

Pourquoi certaines cases sont barrées. Le nombre mixte est un entier plus une fraction inférieure à 1 : il n'existe que pour un nombre supérieur à 1. Le pourcentage correspond à une fraction de dénominateur 100 : on ne l'emploie ici que pour les nombres inférieurs à 1.

Le piège de la première ligne. 0,7 se lit « sept dixièmes », donc 710 — pas 7100. Le dénominateur se lit sur le rang du dernier chiffre, pas sur le nombre de chiffres écrits.

Et 0,7 = 710 = 70100 = 70 %.

9. Lire l'abscisse d'un point≈ 7 min

Donner l'abscisse de chaque point désigné par une flèche.

a. Sur la première demi-droite, donner l'abscisse des deux points désignés.

b. Sur la deuxième demi-droite, donner l'abscisse des deux points désignés.

c. Sur la troisième demi-droite, donner l'abscisse des deux points désignés.

d. Ces trois demi-droites n'ont pas la même graduation. Expliquer comment on le voit.

Corrigé

a. 0,2 et 0,9. Entre 0 et 1, l'intervalle est partagé en dix : une part vaut un dixième.

b. 3,4 et 3,7. Même graduation que la première : une part vaut un dixième.

c. 2,53 et 2,58. Ici les deux nombres écrits sont 2,5 et 2,6 : l'intervalle entre eux vaut un dixième, et il est partagé en dix. Une part vaut donc un centième.

d. On le voit en regardant les deux nombres écrits, jamais les traits. Sur les deux premières, l'écart entre les nombres écrits vaut 1, partagé en dix : une part vaut 0,1. Sur la troisième, l'écart vaut 0,1, partagé en dix : une part vaut 0,01.

La question à se poser en premier, toujours : combien vaut une part, ici ?

10. Ranger, et dire pourquoi≈ 10 min

Ranger la liste de nombres dans l'ordre croissant.

a. Ranger dans l'ordre croissant : 7,2 · 7,125 · 7,08 · 7,20 · 7,8 · 7,102.

b. Justifier la comparaison entre 7,125 et 7,2.

c. Justifier la comparaison entre 7,125 et 7,102.

d. Deux de ces nombres sont égaux. Lesquels ?

Corrigé

a. 7,08 < 7,102 < 7,125 < 7,2 = 7,20 < 7,8

b. Les parties entières sont égales : 7 et 7. On compare les chiffres des dixièmes : 1 et

2. Comme 1 < 2, on a 7,125 < 7,2. Le fait que 7,125 ait plus de chiffres ne joue aucun rôle.

c. Parties entières égales. Chiffres des dixièmes égaux : 1 et 1. On compare les chiffres des centièmes : 0 et 2. Comme 0 < 2, on a 7,102 < 7,125.

d. 7,2 et 7,20. Le zéro final n'ajoute aucun centième.

Ce qu'il faut avoir compris : la longueur de l'écriture ne dit rien de la taille du nombre. 7,8 est le plus grand des six et c'est le plus court à écrire.

11. Arrondir, c'est choisir le plus proche≈ 8 min

Donner la valeur arrondie de chaque nombre au rang demandé.

a. Donner la valeur arrondie de 3,58 à l'unité, puis au dixième.

b. Donner la valeur arrondie de 12,047 au dixième, puis au centième.

c. Donner la valeur arrondie de 9,96 au dixième.

d. Pour la question a, expliquer pourquoi l'arrondi au dixième n'est pas 3,5.

Corrigé

a. À l'unité : 4 — 3,58 est entre 3 et 4, et il est plus proche de 4. Au dixième : 3,6 — 3,58 est entre 3,5 et 3,6, et il est plus proche de 3,6.

b. Au dixième : 12,0. Au centième : 12,05.

c. 10,0. 9,96 est entre 9,9 et 10,0 ; il est plus proche de 10,0. C'est le cas qui surprend : arrondir peut faire changer la partie entière.

d. Parce qu'arrondir n'est pas couper. 3,5 s'obtiendrait en effaçant le 8. Mais entre 3,5 et 3,6, le nombre 3,58 est plus proche de 3,6 : l'écart vaut 0,08 d'un côté et 0,02 de l'autre.

La vérification qui ne trompe pas : placer les deux candidats sur une graduation, et regarder de quel côté tombe le nombre.

Approfondissement — pour aller plus loin

12. Le classement de la finale≈ 20 min

Établir le classement des cinq athlètes à partir des temps donnés.

Les temps de la finale du 100 mètres ont été écrits de cinq façons :

Aya : 10,84 s · Yanis : 10 s et 79 centièmes · Lucie : 10+810+1100 s · Ibrahim : 10 800 millièmes de seconde · Mia : 1088100 s

a. Écrire les cinq temps en écriture à virgule.

b. Établir le classement, du plus rapide au plus lent.

c. Quel est l'écart entre le premier et le dernier ? Deux athlètes sont-ils à égalité ?

Corrigé

a. Aya : 10,84 · Yanis : 10,79 · Lucie : 10,81 · Ibrahim : 10,8 · Mia : 10,88

Le détail qui piège : le temps d'Ibrahim est donné en millièmes. 10 800 millièmes de seconde valent 10,800 s, c'est-à-dire 10,8 s — et non 10,800 lu comme « dix mille huit cents ».

b. Sur une course, le plus rapide est celui dont le temps est le plus petit.

1. Yanis (10,79) · 2. Ibrahim (10,8) · 3. Lucie (10,81) · 4. Aya (10,84) · 5. Mia (10,88)

c. 10,88 − 10,79 = 0,09 s, soit neuf centièmes de seconde.

Aucune égalité. On pourrait le croire pour Ibrahim (10,8) et Lucie (10,81), mais 10,8 = 10,80 et 10,80 < 10,81. Un centième les sépare.

Ce que la tâche demande vraiment : avant de comparer, tout ramener à la même écriture. Cinq écritures différentes du même type de grandeur ne se comparent pas telles quelles.

Durée : 35 minutes. Il n'y a pas de note : chaque exercice mesure une compétence, et tu recevras un niveau pour chacune.

Ceci n'est pas l'évaluation, c'est l'évaluation blanche. Mêmes exercices, mêmes compétences, d'autres nombres. Tu l'as depuis le premier jour du chapitre : refais-la autant de fois que tu veux, corrige-toi tout seul avec la feuille de corrigé, et tu verras ce qu'il te reste à revoir.

Exercice 1 : Ce que je dois savoir par cœur

a. Compléter : 1 unité = …… dixièmes ; 1 dixième = …… centièmes ; 1 unité = …… millièmes.

b. Le nombre 5 est-il un nombre décimal ? Justifier.

c. Écrire une phrase qui dit ce qu'est un nombre décimal.

Réponse : a. 10 — 10 — 1 000. Chaque rang vaut dix fois celui de sa droite ; de l'unité au millième il y a trois rangs, donc 10 × 10 × 10 = 1 000. b. Oui. 5 s'écrit avec une fraction décimale : 5 = 50/10. Tous les entiers sont des nombres décimaux. c. Un nombre décimal est un nombre qui peut s'écrire avec une fraction décimale — autrement dit, un nombre dont la partie décimale s'arrête.

En cas d'erreur : Relis dans le cours les encadrés « Les liens entre les rangs » et « Un nombre décimal ». Puis refais les exercices 1 et 2 de la fiche.

Exercice 2 : Le même nombre, plusieurs écritures

On considère le nombre 472,608.

a. Quel est le chiffre des centièmes ? Quel est le nombre de centièmes ?

b. Écrire le nombre 4,07 de trois autres façons : en fraction décimale, en nombre mixte, et en pourcentage si c'est possible.

Réponse : a. Le chiffre des centièmes est 0 — c'est le chiffre qui occupe ce rang. Le nombre de centièmes est 47 260 : on lit tout ce qui est à gauche du rang des centièmes, ce rang compris. b. Fraction décimale : 407/100. Nombre mixte : 4 + 7/100. Le pourcentage ne convient pas ici : on ne l'emploie que pour les nombres inférieurs à 1, et 4,07 est plus grand que 1. Dire que ce n'est pas possible, et dire pourquoi, fait partie de la réponse.

En cas d'erreur : Relis dans le cours les encadrés « Le chiffre des dixièmes n'est pas le nombre de dixièmes » et « Écrire le même nombre de plusieurs façons ». Puis refais les exercices 3 et 8 de la fiche.

Exercice 3 : Sur la demi-droite graduée

Sur la demi-droite graduée ci-dessus, les graduations 2 et 3 sont écrites et l'intervalle est partagé en dix parts égales.

a. Combien vaut une part ?

b. Donner l'abscisse du point désigné par la flèche.

c. Placer le point B d'abscisse 2,4 et le point C d'abscisse 2,15. Nommer les deux points.

Réponse : a. Une part vaut un dixième, soit 0,1 : l'écart entre les deux nombres écrits vaut 1 et il est partagé en dix. b. Le point désigné a pour abscisse 2,8. c. B se place quatre parts après 2. Pour C, il faut d'abord repartager l'intervalle entre 2,1 et 2,2 : C est au milieu de cet intervalle. Les deux points doivent être nommés sur la figure.

En cas d'erreur : Relis dans le cours les encadrés « La demi-droite graduée » et « Placer un nombre décimal sur une graduation ». Puis refais les exercices 5 et 9 de la fiche.

Exercice 4 : L'erreur de Léa

Léa écrit : « 5,168 est plus grand que 5,2, parce que 168 est plus grand que 2. »

a. Léa a-t-elle raison ? Écrire la comparaison correcte avec un signe.

b. Expliquer en une phrase pourquoi son raisonnement ne fonctionne pas.

Réponse : a. Non. 5,168 < 5,2. b. Les chiffres après la virgule ne forment pas un nombre : chacun occupe un rang. Les parties entières sont égales, on compare donc les chiffres des dixièmes, 1 et 2, et 1 < 2. Le nombre de chiffres écrits ne dit rien de la taille du nombre.

En cas d'erreur : Relis dans le cours les encadrés « Comparer deux nombres décimaux » et « Plus de chiffres ne veut pas dire plus grand ». Puis refais l'exercice 6 de la fiche.

Exercice 5 : Ranger cinq nombres

Ranger dans l'ordre croissant : 7,5 · 7,09 · 7,50 · 7,6 · 7,107

Réponse : 7,09 < 7,107 < 7,5 = 7,50 < 7,6. Le zéro final de 7,50 n'ajoute rien : 7,5 et 7,50 sont égaux, et doivent être signalés comme tels avec le signe =.

En cas d'erreur : Relis dans le cours l'encadré « Comparer deux nombres décimaux ». Puis refais l'exercice 10 de la fiche.

Exercice 6 : Encadrer, intercaler, arrondir

a. Encadrer 25,38 par deux nombres entiers consécutifs.

b. Donner un nombre décimal compris entre 6,7 et 6,8.

c. Peut-on trouver un nombre décimal compris entre 6,71 et 6,72 ? Justifier.

d. Donner la valeur arrondie de 4,96 au dixième.

Réponse : a. 25 < 25,38 < 26. b. Par exemple 6,75 — toute réponse strictement comprise entre les deux convient. c. Oui, par exemple 6,715. On repartage l'intervalle en dix. Entre deux nombres décimaux différents, il y en a toujours un autre. d. 5,0. Le nombre 4,96 est entre 4,9 et 5,0, et il est plus proche de 5,0 : arrondir peut faire changer la partie entière.

En cas d'erreur : Relis dans le cours les encadrés « Encadrer, intercaler » et « La valeur arrondie ». Puis refais les exercices 7 et 11 de la fiche.

Exercice 7 : Le classement de la course

Trois élèves ont couru le 60 m. Leurs temps ont été relevés différemment : Elia 14,26 s · Sam 12 s et 3 dixièmes · Maya 14 240 millièmes de seconde.

a. Écrire les trois temps en écriture à virgule.

b. Établir le classement, du plus rapide au plus lent.

c. Donner la valeur arrondie du temps de Elia au dixième de seconde.

Réponse : a. Elia 14,26 ; Sam 14,3 ; Maya 14,24. Le piège est le temps de Maya : 14 240 millièmes valent 14,240 s, c'est-à-dire 14,24 s. b. Sur une course, le plus rapide est celui dont le temps est le plus petit : 1. Maya (14,24), 2. Elia (14,26), 3. Sam (14,3). c. 14,3 — car 14,26 est entre 14,2 et 14,3, et il est plus proche de 14,3.

En cas d'erreur : Relis dans le cours les encadrés « Écrire le même nombre de plusieurs façons » et « La valeur arrondie ». Puis refais l'exercice 12 de la fiche.

Durée : 35 minutes. Il n'y a pas de note : chaque exercice mesure une compétence, et tu recevras un niveau pour chacune.

Exercice 1 : Ce que je dois savoir par cœur

a. Compléter : 1 unité = …… dixièmes ; 1 dixième = …… centièmes ; 1 unité = …… millièmes.

b. Le nombre 7 est-il un nombre décimal ? Justifier.

c. Écrire une phrase qui dit ce qu'est un nombre décimal.

Réponse : a. 10 — 10 — 1 000. Chaque rang vaut dix fois celui de sa droite ; de l'unité au millième il y a trois rangs, donc 10 × 10 × 10 = 1 000. b. Oui. 7 s'écrit avec une fraction décimale : 7 = 70/10. Tous les entiers sont des nombres décimaux. c. Un nombre décimal est un nombre qui peut s'écrire avec une fraction décimale — autrement dit, un nombre dont la partie décimale s'arrête.

En cas d'erreur : Relis dans le cours les encadrés « Les liens entre les rangs » et « Un nombre décimal ». Puis refais les exercices 1 et 2 de la fiche.

Quand mettre quel niveau

Exercice 2 : Le même nombre, plusieurs écritures

On considère le nombre 384,507.

a. Quel est le chiffre des centièmes ? Quel est le nombre de centièmes ?

b. Écrire le nombre 2,08 de trois autres façons : en fraction décimale, en nombre mixte, et en pourcentage si c'est possible.

Réponse : a. Le chiffre des centièmes est 0 — c'est le chiffre qui occupe ce rang. Le nombre de centièmes est 38 450 : on lit tout ce qui est à gauche du rang des centièmes, ce rang compris. b. Fraction décimale : 208/100. Nombre mixte : 2 + 8/100. Le pourcentage ne convient pas ici : on ne l'emploie que pour les nombres inférieurs à 1, et 2,08 est plus grand que 1. Dire que ce n'est pas possible, et dire pourquoi, fait partie de la réponse.

En cas d'erreur : Relis dans le cours les encadrés « Le chiffre des dixièmes n'est pas le nombre de dixièmes » et « Écrire le même nombre de plusieurs façons ». Puis refais les exercices 3 et 8 de la fiche.

Quand mettre quel niveau

Exercice 3 : Sur la demi-droite graduée

Sur la demi-droite graduée ci-dessus, les graduations 4 et 5 sont écrites et l'intervalle est partagé en dix parts égales.

a. Combien vaut une part ?

b. Donner l'abscisse du point désigné par la flèche.

c. Placer le point B d'abscisse 4,3 et le point C d'abscisse 4,85. Nommer les deux points.

Réponse : a. Une part vaut un dixième, soit 0,1 : l'écart entre les deux nombres écrits vaut 1 et il est partagé en dix. b. Le point désigné a pour abscisse 4,6. c. B se place trois parts après 4. Pour C, il faut d'abord repartager l'intervalle entre 4,8 et 4,9 : C est au milieu de cet intervalle. Les deux points doivent être nommés sur la figure.

En cas d'erreur : Relis dans le cours les encadrés « La demi-droite graduée » et « Placer un nombre décimal sur une graduation ». Puis refais les exercices 5 et 9 de la fiche.

Quand mettre quel niveau

Exercice 4 : L'erreur de Léa

Léa écrit : « 6,349 est plus grand que 6,4, parce que 349 est plus grand que 4. »

a. Léa a-t-elle raison ? Écrire la comparaison correcte avec un signe.

b. Expliquer en une phrase pourquoi son raisonnement ne fonctionne pas.

Réponse : a. Non. 6,349 < 6,4. b. Les chiffres après la virgule ne forment pas un nombre : chacun occupe un rang. Les parties entières sont égales, on compare donc les chiffres des dixièmes, 3 et 4, et 3 < 4. Le nombre de chiffres écrits ne dit rien de la taille du nombre.

En cas d'erreur : Relis dans le cours les encadrés « Comparer deux nombres décimaux » et « Plus de chiffres ne veut pas dire plus grand ». Puis refais l'exercice 6 de la fiche.

Quand mettre quel niveau

Exercice 5 : Ranger cinq nombres

Ranger dans l'ordre croissant : 5,7 · 5,08 · 5,70 · 5,8 · 5,109

Réponse : 5,08 < 5,109 < 5,7 = 5,70 < 5,8. Le zéro final de 5,70 n'ajoute rien : 5,7 et 5,70 sont égaux, et doivent être signalés comme tels avec le signe =.

En cas d'erreur : Relis dans le cours l'encadré « Comparer deux nombres décimaux ». Puis refais l'exercice 10 de la fiche.

Quand mettre quel niveau

Exercice 6 : Encadrer, intercaler, arrondir

a. Encadrer 12,47 par deux nombres entiers consécutifs.

b. Donner un nombre décimal compris entre 3,4 et 3,5.

c. Peut-on trouver un nombre décimal compris entre 3,41 et 3,42 ? Justifier.

d. Donner la valeur arrondie de 9,96 au dixième.

Réponse : a. 12 < 12,47 < 13. b. Par exemple 3,45 — toute réponse strictement comprise entre les deux convient. c. Oui, par exemple 3,415. On repartage l'intervalle en dix. Entre deux nombres décimaux différents, il y en a toujours un autre. d. 10,0. Le nombre 9,96 est entre 9,9 et 10,0, et il est plus proche de 10,0 : arrondir peut faire changer la partie entière.

En cas d'erreur : Relis dans le cours les encadrés « Encadrer, intercaler » et « La valeur arrondie ». Puis refais les exercices 7 et 11 de la fiche.

Quand mettre quel niveau

Exercice 7 : Le classement de la course

Trois élèves ont couru le 60 m. Leurs temps ont été relevés différemment : Jade 12,38 s · Tom 12 s et 4 dixièmes · Sarah 12 350 millièmes de seconde.

a. Écrire les trois temps en écriture à virgule.

b. Établir le classement, du plus rapide au plus lent.

c. Donner la valeur arrondie du temps de Jade au dixième de seconde.

Réponse : a. Jade 12,38 ; Tom 12,4 ; Sarah 12,35. Le piège est le temps de Sarah : 12 350 millièmes valent 12,350 s, c'est-à-dire 12,35 s. b. Sur une course, le plus rapide est celui dont le temps est le plus petit : 1. Sarah (12,35), 2. Jade (12,38), 3. Tom (12,4). c. 12,4 — car 12,38 est entre 12,3 et 12,4, et il est plus proche de 12,4.

En cas d'erreur : Relis dans le cours les encadrés « Écrire le même nombre de plusieurs façons » et « La valeur arrondie ». Puis refais l'exercice 12 de la fiche.

Quand mettre quel niveau

Durée : 35 minutes. Il n'y a pas de note : chaque exercice mesure une compétence, et tu recevras un niveau pour chacune.

Exercice 1 : Ce que je dois savoir par cœur

a. Compléter : 1 unité = …… dixièmes ; 1 dixième = …… centièmes ; 1 unité = …… millièmes.

b. Le nombre 12 est-il un nombre décimal ? Justifier.

c. Écrire une phrase qui dit ce qu'est un nombre décimal.

Réponse : a. 10 — 10 — 1 000. Chaque rang vaut dix fois celui de sa droite ; de l'unité au millième il y a trois rangs, donc 10 × 10 × 10 = 1 000. b. Oui. 12 s'écrit avec une fraction décimale : 12 = 120/10. Tous les entiers sont des nombres décimaux. c. Un nombre décimal est un nombre qui peut s'écrire avec une fraction décimale — autrement dit, un nombre dont la partie décimale s'arrête.

En cas d'erreur : Relis dans le cours les encadrés « Les liens entre les rangs » et « Un nombre décimal ». Puis refais les exercices 1 et 2 de la fiche.

Quand mettre quel niveau

Exercice 2 : Le même nombre, plusieurs écritures

On considère le nombre 596,304.

a. Quel est le chiffre des centièmes ? Quel est le nombre de centièmes ?

b. Écrire le nombre 3,05 de trois autres façons : en fraction décimale, en nombre mixte, et en pourcentage si c'est possible.

Réponse : a. Le chiffre des centièmes est 0 — c'est le chiffre qui occupe ce rang. Le nombre de centièmes est 59 630 : on lit tout ce qui est à gauche du rang des centièmes, ce rang compris. b. Fraction décimale : 305/100. Nombre mixte : 3 + 5/100. Le pourcentage ne convient pas ici : on ne l'emploie que pour les nombres inférieurs à 1, et 3,05 est plus grand que 1. Dire que ce n'est pas possible, et dire pourquoi, fait partie de la réponse.

En cas d'erreur : Relis dans le cours les encadrés « Le chiffre des dixièmes n'est pas le nombre de dixièmes » et « Écrire le même nombre de plusieurs façons ». Puis refais les exercices 3 et 8 de la fiche.

Quand mettre quel niveau

Exercice 3 : Sur la demi-droite graduée

Sur la demi-droite graduée ci-dessus, les graduations 7 et 8 sont écrites et l'intervalle est partagé en dix parts égales.

a. Combien vaut une part ?

b. Donner l'abscisse du point désigné par la flèche.

c. Placer le point B d'abscisse 7,6 et le point C d'abscisse 7,45. Nommer les deux points.

Réponse : a. Une part vaut un dixième, soit 0,1 : l'écart entre les deux nombres écrits vaut 1 et il est partagé en dix. b. Le point désigné a pour abscisse 7,2. c. B se place six parts après 7. Pour C, il faut d'abord repartager l'intervalle entre 7,4 et 7,5 : C est au milieu de cet intervalle. Les deux points doivent être nommés sur la figure.

En cas d'erreur : Relis dans le cours les encadrés « La demi-droite graduée » et « Placer un nombre décimal sur une graduation ». Puis refais les exercices 5 et 9 de la fiche.

Quand mettre quel niveau

Exercice 4 : L'erreur de Léa

Léa écrit : « 8,257 est plus grand que 8,3, parce que 257 est plus grand que 3. »

a. Léa a-t-elle raison ? Écrire la comparaison correcte avec un signe.

b. Expliquer en une phrase pourquoi son raisonnement ne fonctionne pas.

Réponse : a. Non. 8,257 < 8,3. b. Les chiffres après la virgule ne forment pas un nombre : chacun occupe un rang. Les parties entières sont égales, on compare donc les chiffres des dixièmes, 2 et 3, et 2 < 3. Le nombre de chiffres écrits ne dit rien de la taille du nombre.

En cas d'erreur : Relis dans le cours les encadrés « Comparer deux nombres décimaux » et « Plus de chiffres ne veut pas dire plus grand ». Puis refais l'exercice 6 de la fiche.

Quand mettre quel niveau

Exercice 5 : Ranger cinq nombres

Ranger dans l'ordre croissant : 3,6 · 3,07 · 3,60 · 3,9 · 3,108

Réponse : 3,07 < 3,108 < 3,6 = 3,60 < 3,9. Le zéro final de 3,60 n'ajoute rien : 3,6 et 3,60 sont égaux, et doivent être signalés comme tels avec le signe =.

En cas d'erreur : Relis dans le cours l'encadré « Comparer deux nombres décimaux ». Puis refais l'exercice 10 de la fiche.

Quand mettre quel niveau

Exercice 6 : Encadrer, intercaler, arrondir

a. Encadrer 18,63 par deux nombres entiers consécutifs.

b. Donner un nombre décimal compris entre 5,2 et 5,3.

c. Peut-on trouver un nombre décimal compris entre 5,21 et 5,22 ? Justifier.

d. Donner la valeur arrondie de 7,97 au dixième.

Réponse : a. 18 < 18,63 < 19. b. Par exemple 5,25 — toute réponse strictement comprise entre les deux convient. c. Oui, par exemple 5,215. On repartage l'intervalle en dix. Entre deux nombres décimaux différents, il y en a toujours un autre. d. 8,0. Le nombre 7,97 est entre 7,9 et 8,0, et il est plus proche de 8,0 : arrondir peut faire changer la partie entière.

En cas d'erreur : Relis dans le cours les encadrés « Encadrer, intercaler » et « La valeur arrondie ». Puis refais les exercices 7 et 11 de la fiche.

Quand mettre quel niveau

Exercice 7 : Le classement de la course

Trois élèves ont couru le 60 m. Leurs temps ont été relevés différemment : Noé 15,47 s · Lina 12 s et 5 dixièmes · Adam 15 420 millièmes de seconde.

a. Écrire les trois temps en écriture à virgule.

b. Établir le classement, du plus rapide au plus lent.

c. Donner la valeur arrondie du temps de Noé au dixième de seconde.

Réponse : a. Noé 15,47 ; Lina 15,5 ; Adam 15,42. Le piège est le temps de Adam : 15 420 millièmes valent 15,420 s, c'est-à-dire 15,42 s. b. Sur une course, le plus rapide est celui dont le temps est le plus petit : 1. Adam (15,42), 2. Noé (15,47), 3. Lina (15,5). c. 15,5 — car 15,47 est entre 15,4 et 15,5, et il est plus proche de 15,5.

En cas d'erreur : Relis dans le cours les encadrés « Écrire le même nombre de plusieurs façons » et « La valeur arrondie ». Puis refais l'exercice 12 de la fiche.

Quand mettre quel niveau

Exercice 1 : Je construis la citrouille

Suis le programme de construction, dans l'ordre, sur le cadre ci-dessous.

1. Trace un segment [AB] de 8 cm, à l'horizontale et bien au milieu du cadre.

2. Place le milieu O de [AB].

3. Trace le cercle de centre O qui passe par A. Il passe aussi par B.

4. Trace la droite perpendiculaire à (AB) qui passe par O. Elle coupe le cercle en deux points : appelle H celui du haut, et K celui du bas.

5. Place sur [AB] le point C tel que OC = 2 cm, du côté de A.

6. Place sur [AB] le point D tel que OD = 2 cm, du côté de B.

7. Trace l'arc de cercle de centre C, de rayon [CH], qui va de H jusqu'à K.

8. Trace l'arc de cercle de centre D, de rayon [DH], qui va de H jusqu'à K.

9. Place le point S sur la droite perpendiculaire, à 1,5 cm au-dessus de H, et trace le segment [HS] : c'est la queue.

10. Colorie la citrouille — sans recouvrir tes traits de construction.

Voici la figure que tu dois obtenir. Ne la recopie pas : construis-la en suivant le programme, elle est là pour que tu saches où tu vas.

Réponse : La figure attendue est celle du bas de l'énoncé. Ce qui se contrôle, dans cet ordre : le cercle passe bien par A ET par B, donc son rayon vaut 4 cm ; l'angle en O est droit, à l'équerre ; C et D sont à 2 cm de O de part et d'autre ; les deux arcs partent de H et arrivent en K sans les dépasser, et leurs pointes de piqûre sont visibles en C et en D. L'erreur la plus fréquente est de tracer les arcs avec un rayon mesuré à la règle plutôt que reporté au compas depuis H : les arcs manquent alors K de deux ou trois millimètres.

En cas d'erreur : Reprends le cours du chapitre 2, l'encadré sur la droite perpendiculaire, et celui du chapitre 3 sur le cercle de centre et de rayon donnés.

Quand mettre quel niveau

Exercice 2 : Je mesure sur ma figure

Sur ta figure, mesure au millimètre près et écris chaque longueur en centimètres, avec une virgule.

Réponse : CH mesure 4,5 cm environ — la valeur exacte est proche de 4,47 cm, et toute mesure entre 4,4 et 4,5 cm est juste. DK mesure la même chose : c'est le même rayon, reporté de l'autre côté, et une différence de plus de 2 mm entre les deux signale un arc mal tracé. AH mesure 5,7 cm environ (valeur exacte proche de 5,66 cm), donc 5 < AH < 6. L'erreur attendue sur d est de donner 5,6 et 5,7 au lieu de deux ENTIERS qui se suivent.

En cas d'erreur : Reprends dans le cours l'encadré « Les rangs après la virgule », puis celui sur l'encadrement d'un nombre décimal.

Quand mettre quel niveau

Exercice 3 : Ma figure se lit

Sur ta figure, avant de colorier :

a. Écris le nom de chacun des huit points : A, B, O, C, D, H, K, S.

b. Code l'angle droit en O.

c. Code les longueurs égales : OA et OB d'un côté, OC et OD de l'autre — deux codages différents.

Réponse : Les huit noms sont écrits à côté de leur croix, sans recouvrir un trait. L'angle droit en O porte le petit carré. OA et OB portent la même marque — un trait —, OC et OD une autre — deux traits. ⚠️ Le codage se fait AVANT le coloriage : un codage posé sur une zone déjà coloriée ne se lit plus, et c'est l'oubli le plus courant.

Quand mettre quel niveau

Pourquoi ceci est un devoir maison : On rend une figure tracée au compas et à la règle, traits de construction apparents. Un arc de compas laisse une trace continue et une pointe de piqûre au centre ; deux arcs de même rayon se recoupent au millimètre. Aucun de ces gestes ne se fabrique sans avoir tenu le compas, et leur absence se voit d'un coup d'œil : une figure obtenue autrement n'a ni pointe en C, ni pointe en D, et ses côtes ne passent pas exactement par H et par K. La vérification du professeur tient en un regard.

Ce que j'imprime, et où ça se colle

Les élèves n'ont qu'un cahier : la leçon au recto, les exercices au verso. Rien de tout cela n'est imprimé sur leur feuille — c'est vous qui le dites en distribuant.

Ce qui est annoncé aux élèves

Je vais apprendre à…

• Dire combien de dixièmes font une unité, combien de centièmes font un dixième, et placer un nombre dans le tableau de numération. — consolidation du cours moyen
• Dire si un nombre est un nombre décimal, et dire pourquoi.
• Écrire un même nombre de plusieurs façons : avec une virgule, avec une fraction décimale, en nombre mixte, en pourcentage — et reconnaître que ce sont les mêmes.
• Placer un nombre décimal sur une demi-droite graduée. — consolidation du cours moyen
• Lire l'abscisse d'un point placé sur une demi-droite graduée. — consolidation du cours moyen
• Comparer deux nombres décimaux et écrire le résultat avec un signe. — consolidation du cours moyen
• Ranger une liste de nombres décimaux du plus petit au plus grand, ou l'inverse. — consolidation du cours moyen
• Donner la valeur arrondie d'un nombre à l'unité, au dixième ou au centième.
• Encadrer un nombre décimal, et trouver un nombre décimal placé entre deux autres.

Je dois savoir…

• Je sais qu'une unité vaut 10 dixièmes, qu'un dixième vaut 10 centièmes, et qu'un centième vaut 10 millièmes.
• Je sais écrire une fraction décimale sous la forme d'un nombre à virgule, et l'inverse.
• Je sais dire si un nombre est un nombre décimal, et je sais dire pourquoi.
• Je fais la différence entre le chiffre des dixièmes et le nombre de dixièmes.
• Je sais qu'un zéro placé tout à la fin de la partie décimale ne change pas le nombre.
• Je sais écrire un même nombre avec une virgule, avec une fraction décimale, en nombre mixte et en pourcentage.
• Je sais lire l'abscisse d'un point sur une demi-droite graduée.
• Je sais placer un nombre décimal sur une demi-droite graduée.
• Je sais comparer deux nombres décimaux, même quand l'un a plus de chiffres que l'autre.
• Je sais ranger une liste de nombres décimaux.
• Je sais encadrer un nombre décimal entre deux entiers, puis au dixième.
• Je sais trouver un nombre décimal placé entre deux autres.
• Je sais donner la valeur arrondie d'un nombre à l'unité, au dixième et au centième.

Les huit séances

Séance 1 — La pochette du chapitre 4, et le devoir maison

À distribuer : évaluation blanche — ne pas coller. Remise le PREMIER JOUR : c'est l'évaluation, avec d'autres nombres. L'élève la refait autant de fois qu'il veut ; le corrigé est dans la pochette CORRIGÉS, au fond de la classe. Rien n'est ramassé.

À distribuer : devoir maison — ne pas coller. Il ne se colle pas : il se REND, complété, une semaine plus tard. À annoncer en le distribuant — il faut une règle graduée à la maison.

À distribuer : je me situe — ne pas coller. Dans la pochette. On la ressort pour clôturer le chapitre, quelques jours avant l'évaluation.

À distribuer : plan de travail — ne pas coller. Dans la pochette : c'est la feuille de route du chapitre. Je la ressors à chaque fois que je travaille, et je coche ce que j'ai fait.

Séance 2 — Partager l'unité : dixièmes, centièmes, millièmes

À distribuer : cours à compléter — partie leçon (recto), toutes les pages

À distribuer : exercices — partie exercices (verso), toutes les pages

Deux groupes de besoins. Objectif commun : Partager l'unité en dix, puis encore en dix, et nommer ce qu'on obtient

• GI — besoins importants, M3 : GI, M3, six élèves au maximum. Le professeur plie la première bande avec eux, en disant chaque geste à voix haute ; chacun plie ensuite la sienne et nomme ce qu'il tient AVANT de l'écrire — « un dixième de la bande ». On recolle dix parts devant eux pour refaire l'unité.
• Gm — besoins modérés, M4 : Gm, M4, environ vingt élèves. Les binômes plient seuls et écrivent la fraction de chaque part. Ceux qui ont fini cherchent combien de millièmes font un dixième, et le prouvent sans découper.

Séance 3 — L'écriture à virgule, et ce qu'est un nombre décimal

Séance 4 — Le même nombre, plusieurs écritures

Séance 5 — Placer et lire sur une demi-droite graduée

Séance 6 — Comparer et ranger

Oral, étape 3 — Le commentaire — expliquer pourquoi une réponse est fausse sans dire « c'est faux » : Troisième étape de la progression d'oral de l'année, après le binôme et la reformulation. L'élève commente l'erreur de Malo devant la classe : il doit dire ce que Malo a pensé, puis pourquoi ça ne marche pas. Commenter un raisonnement, pas juger une personne — la consigne est explicite.

Séance 7 — Encadrer, intercaler, arrondir — et le chapitre se ferme

À distribuer : carte mentale — ne pas coller. À garder dans la pochette, ou à afficher à la maison. Avant l'évaluation, je cache une branche et j'essaie de la redire.

Séance 8 — L'évaluation du chapitre

À distribuer : évaluation du chapitre (sujets A et B) — ne pas coller. La feuille de l'épreuve : elle se remet le jour même, le lundi 2 novembre.

Les rituels d'automatismes, et l'erreur que chacun vise

Aucun de ces rituels ne porte sur la notion du chapitre : en 6e, un automatisme porte uniquement sur un acquis du cours moyen, et il prépare ce qui vient. Trois variantes par item, pour que l'élève retienne la procédure et non la réponse.

Séance 2 — calculer une fraction d'une quantité ; lire l'heure sur un cadran à aiguilles ou un… ; placer les aiguilles pour une heure donnée

Calculer une fraction d'une quantité

Erreur visée : Inverser les deux étapes : diviser par le numérateur et multiplier par le dénominateur.

À faire verbaliser : On divise par le dénominateur pour obtenir une part, puis on multiplie par le numérateur.

Lire l'heure sur un cadran à aiguilles ou un affichage digital

Erreur visée : Lire la petite aiguille comme si elle pointait l'heure exacte, alors qu'elle a déjà avancé entre deux chiffres.

À faire verbaliser : La petite aiguille avance tout au long de l'heure : entre 4 et 5, il est 4 heures passées.

Placer les aiguilles pour une heure donnée

Erreur visée : Placer la petite aiguille exactement sur le chiffre de l'heure, alors qu'elle doit être décalée selon les minutes écoulées.

À faire verbaliser : À 4 h 30, la petite aiguille est à mi-chemin entre le 4 et le 5, pas sur le 4.

Séance 3 — unités de durée et relations entre elles ; jours dans une année, années dans un siècle… ; demi-heure, quart d'heure, trois quarts…

Unités de durée et relations entre elles

Erreur visée : Convertir les durées en base dix, et croire qu'une heure vaut 100 minutes.

À faire verbaliser : Les durées ne se comptent pas par dix : 60 secondes font une minute, 60 minutes font une heure.

Jours dans une année, années dans un siècle et un millénaire

Erreur visée : Oublier l'année bissextile, ou confondre le siècle et le millénaire.

À faire verbaliser : Une année bissextile revient tous les quatre ans, et compte un jour de plus.

Demi-heure, quart d'heure, trois quarts d'heure

Erreur visée : Prendre la moitié de 100 au lieu de la moitié de 60, et répondre qu'une demi-heure fait 50 minutes.

À faire verbaliser : Une heure vaut 60 minutes : sa moitié est 30, son quart est 15.

Séance 5 — identifier les solides usuels ; lire un tableau, un diagramme en barres, un… ; repérer des relations multiplicatives simples

Identifier les solides usuels

Erreur visée : Confondre le pavé droit et le cube, ou la pyramide et le cône, en ne regardant que la silhouette.

À faire verbaliser : On regarde les faces : combien il y en a, quelle forme elles ont, et si elles sont planes ou courbes.

Lire un tableau, un diagramme en barres, un diagramme circulaire

Erreur visée : Lire la hauteur d'une barre sans avoir regardé ce que vaut une graduation de l'axe.

À faire verbaliser : On lit d'abord ce que vaut une graduation, ensuite seulement la barre.

Repérer des relations multiplicatives simples

Erreur visée : Confondre « le double » et « deux de plus », donc ajouter au lieu de multiplier.

À faire verbaliser : Le double se calcule en multipliant par deux, jamais en ajoutant deux.

Séance 6 — associer « n fois plus » et « n fois moins »… ; relations entre 1/1000, 1/100, 1/10 et 1 ; les tables de multiplication

Associer « n fois plus » et « n fois moins » à une opération

Erreur visée : Traduire « 5 fois moins » par une soustraction, en le confondant avec « 5 de moins ».

À faire verbaliser : « Fois moins », c'est une division ; « de moins », c'est une soustraction. Les deux mots ne disent pas la même chose.

Relations entre 1/1000, 1/100, 1/10 et 1

Erreur visée : Croire qu'un numérateur plus grand donne un nombre plus grand. Ici le numérateur augmente et le nombre reste égal à 1, parce que les parts sont plus petites.

À faire verbaliser : Plus les parts sont petites, plus il en faut pour faire un entier : 10 dixièmes ou 100 centièmes, c'est le même 1.

Les tables de multiplication

Erreur visée : Reconstruire le produit par additions successives — 7, 14, 21… — au lieu de le restituer. La réponse finit par tomber, mais elle a consommé la mémoire de travail dont le problème avait besoin.

À faire verbaliser : Un produit se dit, il ne se calcule pas : 7 × 8, c'est 56, tout de suite.

Séance 8 — équivalences 1/10 = 0,1 ; 1/100 = 0,01 ;… ; passer d'une fraction décimale à une écriture… ; multiplier un nombre décimal par 1, 10, 100…

Équivalences 1/10 = 0,1 ; 1/100 = 0,01 ; 1/1000 = 0,001

Erreur visée : Compter les zéros du dénominateur au lieu de placer le chiffre au bon rang : écrire 0,1 pour un centième.

À faire verbaliser : Un centième se place au deuxième rang après la virgule : le rang des dixièmes reste vide.

Passer d'une fraction décimale à une écriture à virgule, et l'inverse

Erreur visée : Placer le chiffre au rang des dixièmes quel que soit le dénominateur : écrire 4,7 pour 4 + 7/100.

À faire verbaliser : Le dénominateur dit à quel rang se place le chiffre : sur 100, c'est le rang des centièmes.

Multiplier un nombre décimal par 1, 10, 100 ou 1 000

Erreur visée : Ajouter des zéros à droite sans faire changer les chiffres de rang : répondre 3,600, qui vaut encore 3,6.

À faire verbaliser : Multiplier par 100 fait changer chaque chiffre de deux rangs vers la gauche : les unités deviennent des centaines.

Ce que l'élève fait ensuite, selon son niveau

Ce texte est adressé à l'ÉLÈVE. Rien ici ne demande de relever quoi que ce soit : il lit son niveau sur sa copie et il sait vers quel parcours aller.

8 séances · 9 objectifs du programme, dont 4 neufs en 6e · périodes 1 et 2

Lundi 5 octobre, 11 h 30 · mercredi 7, en groupes · jeudi 8, 9 h 25 et 15 h.

Lundi 12, 9 h 25 · jeudi 15, 9 h 25 et 15 h · lundi 2 novembre, 9 h 25.

Ce qu'il faut imprimer, et en combien d'exemplaires

À faire une fois, avant la séance 1.

• La blanche part le premier jour ; l'évaluation, le jour de l'épreuve.
• Le corrigé de la blanche ne se distribue jamais : il est dans la pochette.
• « Je me situe » se colorie deux fois : séance 1, puis à la fin de la séance 7.
• Les cartes A B C D du Live Quiz servent aux séances 4 et 7.
• Le jour de l'épreuve ne porte que l'épreuve.

Le cours, en six parties numérotées

• I — partager l'unité, les liens entre les rangs. Séance 2.
• II — l'écriture à virgule, le nombre décimal. Séance 3.
• III — le même nombre, plusieurs écritures. Séance 4.
• IV — la demi-droite graduée. Séance 5.
• V — comparer et ranger. Séance 6.
• VI — encadrer, intercaler, arrondir. Séance 7.

Le calcul du jour

• Séances 2, 3, 5, 6 et 8 : il a lieu, en début d'heure.
• Séances 1, 4 et 7 : secondes heures de la journée, il a eu lieu le matin.

Séance par séance

Séance 1 — La pochette du chapitre 4, et le devoir maison

Lundi 5 octobre, 11 h 30 — l'évaluation du chapitre 3 a eu lieu à 9 h 25.

• Aucune leçon : c'est le premier jour du chapitre.
• Glisser le corrigé de la blanche dans la pochette CORRIGÉS.

Séance 2 — Partager l'unité : partie I

Mercredi 7 octobre, en groupes.

• L'unité est la bande, pas le centimètre.

Séance 3 — L'écriture à virgule : partie II

Jeudi 8 octobre, 9 h 25.

Séance 4 — Le même nombre, plusieurs écritures : partie III

Jeudi 8 octobre, 15 h — seconde heure du jour.

Séance 5 — La demi-droite graduée : partie IV

Lundi 12 octobre, 9 h 25.

Séance 6 — Comparer et ranger : partie V

Jeudi 15 octobre, 9 h 25.

Séance 7 — Encadrer, intercaler, arrondir : partie VI, et le chapitre se ferme

Jeudi 15 octobre, 15 h — la veille des vacances.

Séance 8 — L'évaluation du chapitre

Lundi 2 novembre, 9 h 25 — au retour des vacances.

• Rien avant l'épreuve : ni exercice, ni « je me situe ».
• La séance de problèmes a lieu à 11 h 30.

Ce qu'on ne fait pas

• On ne distribue pas le corrigé de la blanche.
• On ne compare jamais ce qui suit la virgule comme un entier.
• On ne ramasse rien d'autre que le devoir maison et l'évaluation.

Arbitrage pris le 13 septembre 2026

• Le premier jour ne porte pas de leçon : la pochette et le devoir maison.
• L'évaluation passe au lundi 2 novembre — choix d'Emmanuel parmi trois.
• Deux Live Quiz valident la fin des séances 4 et 7.
• La fiche d'exercices perd deux exercices et une photo, pour tenir en trois pages.

I · Partager l'unité

II · L'écriture à virgule, et ce qu'est un nombre décimal

Le tableau de numération continue à droite des unités

Le nombre écrit dans la dernière ligne se lit quarante-cinq unités et deux cent sept millièmes. On l'écrit 45,207.

III · Le même nombre, plusieurs écritures

Écrire le même nombre de plusieurs façons

Le nombre 2,45 s'écrit de quatre manières.

1. Écriture à virgule : 2,45

2. Fraction décimale : 245100

3. Nombre mixte — un entier plus une fraction inférieure à 1 : 2 + 45100

4. Somme de fractions décimales : 2 + 410 + 5100

Et pour un nombre inférieur à 1, on peut aussi employer un pourcentage : 45100 = 0,45 = 45 %.

IV · La demi-droite graduée

Placer un nombre décimal sur une graduation

Pour placer 2,3 :

1. Repérer les deux entiers qui l'encadrent : 2 et 3.

2. Regarder en combien de parts égales l'intervalle est partagé. Si c'est 10, chaque part vaut un dixième.

3. Compter 3 parts à partir de 2.

V · Comparer et ranger

VI · Encadrer, intercaler, arrondir