Rappels de géométrie

I · Le point, la droite, le segment, la demi-droite

II · Appartenir à une droite, points alignés

III · Droites perpendiculaires, droites parallèles

Trois positions, et trois seulement

Des droites perpendiculaires sont aussi des droites sécantes : c'est un cas particulier.

IV · Tracer une perpendiculaire à l'équerre

Tracer une perpendiculaire à l'équerre

Pour tracer la perpendiculaire à la droite (d) passant par le point M :

1. Poser le côté de l'angle droit de l'équerre le long de ................................

2. Faire glisser l'équerre le long de (d) jusqu'à ce que l'autre côté passe par .............

3. Tracer le long de ce second côté.

4. Coder l'angle droit par un petit carré.

Essentiel — à faire

1. Les quatre écritures≈ 6 min

Compléter chaque phrase avec l'écriture qui convient : (AB), [AB], [AB) ou AB.

a. La droite qui passe par A et par B se note …

b. Le segment d'extrémités A et B se note …

c. La longueur de ce segment se note …

d. La demi-droite qui part de A et passe par B se note …

e. Écrire que cette longueur vaut 5 cm.

f. Expliquer pourquoi la longueur ne s'écrit ni avec des crochets ni avec des parenthèses.

Corrigé

a. (AB) · b. [AB] · c. AB · d. [AB)

e. AB = 5 cm

f. Parce que la longueur est un nombre, pas une figure. Les crochets et les parenthèses désignent des objets géométriques — un segment, une droite. Un nombre n'en a pas besoin.

Écrire « [AB] = 5 cm » reviendrait à dire qu'un segment est égal à un nombre, ce qui n'a pas de sens : on ne peut pas mettre un dessin et un nombre des deux côtés d'un signe égal.

Moyen de s'en souvenir : le crochet ferme le segment à ses deux bouts ; la parenthèse laisse la droite ouverte ; la longueur, elle, ne ferme ni n'ouvre rien.

2. Lire une figure codée≈ 8 min

Répondre par vrai ou faux, en justifiant d'un mot.

Sur la figure, les points A, B et C sont alignés dans cet ordre. Le point D n'est pas sur cette droite.

a. Le point C appartient-il à la droite (AB) ?

b. Le point C appartient-il au segment [AB] ?

c. Peut-on nommer cette droite (BC) ?

d. Écrire, avec le symbole qui convient, que D n'est pas sur la droite (AB).

e. Combien de droites passent par les points A et B ?

Corrigé

a. Oui. La droite (AB) n'a pas de bout : elle continue au-delà de B, et C est dessus. On écrit C ∈ (AB).

b. Non. Le segment [AB] s'arrête en B, et C est plus loin.

c. Oui. Trois points alignés ne définissent qu'une seule droite. Elle peut se nommer (AB), (AC), (BC), et aussi (BA), (CA), (CB).

d. D ∉ (AB).

e. Une seule. Par deux points, il passe une droite et une seule — c'est ce qui permet de nommer une droite par deux de ses points.

Le piège de la question a est le plus fréquent du chapitre : on confond ce qu'on VOIT tracé et ce que l'objet EST. Une droite dessinée s'arrête au bord de la feuille ; la droite, elle, ne s'arrête pas.

3. Trancher sans prolonger≈ 12 min

Trancher entre parallèles, sécantes et perpendiculaires, sans prolonger les traits.

a. Écrire la position de chaque paire : la paire 1 à gauche, la paire 3 à droite.

b. Écrire, pour chaque paire, comment vous en avez été sûrs.

c. Une paire a trompé beaucoup d'élèves. Laquelle, et pourquoi ?

Corrigé

a. Paire 1 : perpendiculaires. Paire 2 : sécantes, mais pas perpendiculaires. Paire 3 : sécantes — elles se coupent, très loin des traits dessinés.

b. Deux vérifications, et aucune ne se fait à l'œil.

• Pour la perpendicularité : l'équerre. On pose le côté de l'angle droit sur une droite et on regarde si l'autre côté suit la seconde.
• Pour le parallélisme : on mesure l'écart en deux endroits éloignés. S'il change, les droites finissent par se couper.

c. La paire 3. Les deux droites paraissent parallèles parce qu'on ne les voit que sur quelques centimètres. En mesurant l'écart aux deux bouts, on trouve qu'il n'est pas le même : il diminue vers la droite d'environ un quart. Elles se rapprochent, donc elles se couperont — loin de la feuille.

Ce qu'il faut retenir : un dessin ne prouve rien. Ce qui prouve, c'est l'instrument ou la mesure.

4. La perpendiculaire qui passe par un point≈ 10 min

Tracer la perpendiculaire demandée, en laissant le codage visible.

Sur la figure ci-dessous, une droite (d) est tracée et un point M est placé en dehors d'elle. On trace directement sur la figure.

a. Tracer la perpendiculaire à la droite (d) passant par le point M.

b. Coder l'angle droit.

c. Nommer H le point d'intersection des deux droites.

d. Placer un point N sur la droite (d), différent de H. La droite (MN) est-elle perpendiculaire à la droite (d) ?

Corrigé

a. Trois gestes, et l'ordre compte :

1. poser le côté de l'angle droit de l'équerre le long de la droite (d) ;

2. faire glisser l'équerre le long de (d) jusqu'à ce que l'autre côté passe par M ;

3. tracer.

b. Un petit carré à l'intersection.

c. Le point H est le pied de la perpendiculaire.

d. Non. Il n'y a qu'une seule perpendiculaire à (d) passant par M, et c'est celle qu'on vient de tracer. Toute autre droite issue de M coupe (d) en formant un angle qui n'est pas droit.

L'erreur la plus fréquente est de commencer par poser l'équerre sur M. On obtient alors une droite qui passe bien par M, mais dont l'angle avec (d) n'est droit qu'à peu près. C'est la droite qui commande, pas le point.

Consolidation — pour stabiliser

5. Nommer, tracer, coder≈ 10 min

Tracer sur le cahier, au crayon à papier, la figure décrite étape par étape.

a. Placer trois points A, B et C qui ne sont pas alignés.

b. Tracer la droite (AB), le segment [BC] et la demi-droite [CA).

c. Placer un point M sur la droite (AB), mais en dehors du segment [AB].

d. Écrire, avec les symboles, que M appartient à la droite (AB) et que C n'y appartient pas.

e. Combien de droites passent à la fois par A et par C ?

Corrigé

a. Trois croix, nommées A, B et C, qui ne sont pas sur un même trait.

b. La droite (AB) se dessine plus longue que A et B : elle continue des deux côtés. Le segment [BC] s'arrête en B et en C. La demi-droite [CA) part de C, passe par A et continue au-delà de A — pas au-delà de C.

c. M est sur la droite (AB), mais plus loin que A ou plus loin que B : sur le trait, en dehors du segment.

d. M ∈ (AB) et C ∉ (AB).

e. Une seule. Par deux points, il passe une droite et une seule.

Ce qui coûte le plus souvent : la demi-droite tracée dans le mauvais sens (elle part de C, pas de A), et le segment prolongé au-delà de ses extrémités.

6. Sur le quadrillage du cahier≈ 10 min

Tracer, sur une page à carreaux, les droites demandées.

a. Tracer une droite (d1) en suivant une ligne du quadrillage.

b. Tracer une droite (d2) perpendiculaire à (d1), sans équerre, en suivant le quadrillage. Coder l'angle droit.

c. Tracer une droite (d3) parallèle à (d1), à trois carreaux de distance.

d. Vérifier avec l'équerre que (d2) est aussi perpendiculaire à (d3).

e. Expliquer pourquoi le quadrillage permet de tracer une perpendiculaire sans équerre.

Corrigé

a. Une ligne horizontale du quadrillage, prolongée à la règle.

b. Une ligne verticale du quadrillage : les lignes du quadrillage se coupent à angle droit, donc (d2) est perpendiculaire à (d1). Le petit carré se dessine à l'intersection.

c. (d3) suit une autre ligne horizontale, trois carreaux plus haut ou plus bas. L'écart entre (d1) et (d3) est le même partout : elles sont parallèles.

d. L'équerre s'ajuste : (d2) coupe (d3) à angle droit aussi. Une droite perpendiculaire à l'une de deux parallèles est perpendiculaire à l'autre.

e. Parce que le quadrillage est fait de deux familles de droites : les horizontales, toutes parallèles entre elles, et les verticales, toutes parallèles entre elles — et chaque verticale est perpendiculaire à chaque horizontale. Un écran d'ordinateur est fait pareil : des lignes et des colonnes de pixels.

Approfondissement — pour aller plus loin

7. Le programme de construction≈ 18 min

Rédiger un programme de construction qui permette à un camarade de refaire la figure.

Ci-dessus : une droite, sa perpendiculaire en A, et la parallèle à la première par B.

a. Rédiger le programme de construction de cette figure : une consigne par ligne, dans l'ordre où il faut tracer.

b. Échanger avec un camarade et exécuter le sien sans poser de question.

c. Comparer les deux figures. Noter les lignes du programme qui ont posé problème.

Corrigé

Un programme correct dit quoi faire, dans quel ordre, et avec quel instrument. Par exemple :

1. Tracer une droite (d) à la règle.

2. Placer un point A sur la droite (d).

3. Tracer la droite (d') perpendiculaire à (d) passant par A, à l'équerre. Coder l'angle droit.

4. Placer un point B sur la droite (d'), à 4 cm de A.

5. Tracer la droite parallèle à (d) passant par B.

Ce qui bloque à l'exécution, presque toujours :

• l'ordre : placer B avant d'avoir tracé (d') est impossible ;
• l'instrument manquant : « tracer une perpendiculaire » sans dire à l'équerre laisse faire à l'œil ;
• une longueur non donnée : sans « 4 cm », chacun place B où il veut, et les figures ne coïncident pas — ce qui n'est pas grave si la consigne l'admet, mais il faut le savoir.

Ce que ça travaille : écrire pour être exécuté, pas pour être compris. C'est la même exigence qu'en programmation.

8. Des segments et des droites≈ 12 min

Compter les segments et les droites, sans en oublier ni en compter deux fois.

a. Placer quatre points A, B, C et D sur le cahier, jamais trois sur une même droite.

b. Tracer et nommer tous les segments qui joignent deux de ces points. Combien y en a-t-il ?

c. Combien de droites passent par deux de ces points ?

d. Recommencer avec A, B et C alignés, et D en dehors. Combien de segments ? De droites ?

e. Avec cinq points, jamais trois alignés : combien de segments ?

Corrigé

a. Quatre croix, par exemple aux quatre coins d'une figure à quatre côtés.

b. 6 segments : [AB], [AC], [AD], [BC], [BD] et [CD]. Le segment [BA] est le même que [AB] : on ne le compte pas deux fois. Pour n'en oublier aucun, on part de A (3 segments), puis de B sans revenir à A (2), puis de C (1) : 3 + 2 + 1 = 6.

c. 6 droites : (AB), (AC), (AD), (BC), (BD) et (CD). Trois points ne sont jamais alignés, donc chaque paire de points donne une droite différente.

d. Toujours 6 segments : [AB], [AC] et [BC] sont trois segments différents, même posés sur un même trait. Mais 4 droites seulement : (AB), (AC) et (BC) sont une seule et même droite ; il reste (AD), (BD) et (CD). 1 + 3 = 4.

e. 10 segments : 4 + 3 + 2 + 1 = 10.

Ce que ça montre : un segment s'arrête à ses extrémités, une droite non. C'est pour cela que l'alignement change le nombre de droites, et pas celui des segments.

9. Vrai ou faux ?≈ 10 min

Répondre par vrai ou faux, en le prouvant par une phrase ou un dessin à main levée.

a. « Le segment [AB] et la droite (AB), c'est la même chose. »

b. « Par deux points A et B, il passe plusieurs droites. »

c. « Deux droites qui ne se coupent pas sur la feuille sont parallèles. »

d. « Deux droites perpendiculaires sont aussi des droites sécantes. »

e. « Si le point M appartient au segment [AB], il appartient aussi à la droite (AB). »

f. « On peut écrire [AB] = 4 cm. »

Corrigé

a. Faux. Le segment s'arrête en A et en B ; la droite continue des deux côtés. Le segment n'est qu'un morceau de la droite.

b. Faux. Par deux points, il passe une droite et une seule.

c. Faux. Elles peuvent se couper plus loin, en dehors de la feuille. Pour le savoir, on mesure l'écart entre elles en deux endroits éloignés.

d. Vrai. Deux droites perpendiculaires se coupent, en formant un angle droit : c'est un cas particulier de droites sécantes.

e. Vrai. Le segment [AB] est un morceau de la droite (AB) : un point du segment est donc sur la droite.

f. Faux. [AB] est un segment, pas un nombre. On écrit AB = 4 cm.

Pourquoi le dessin à main levée compte : pour dire « faux », un seul contre-exemple suffit — deux droites presque parallèles qui se coupent hors de la feuille. Pour dire « vrai », il faut une raison qui vaut pour toutes les figures.

Durée : 18 minutes. Il n'y a pas de note : chaque exercice mesure une compétence, et tu recevras un niveau pour chacune.

Ceci n'est pas l'évaluation, c'est l'évaluation blanche. Mêmes exercices, mêmes compétences, d'autres nombres. Tu l'as depuis le premier jour du chapitre : refais-la autant de fois que tu veux, corrige-toi tout seul avec la feuille de corrigé, et tu verras ce qu'il te reste à revoir.

Exercice 1 : Les écritures de la géométrie

a. Comment nomme-t-on un point ? Où place-t-on sa lettre ?

b. Compléter avec (RS), [RS], [RS) ou RS :

• la droite qui passe par R et S se note ……
• le segment d'extrémités R et S se note ……
• la demi-droite d'origine R passant par S se note ……
• la longueur du segment d'extrémités R et S se note ……

Réponse : a. Par une lettre majuscule. La lettre se place à côté de la croix, jamais dessus, sinon on ne voit plus où est le point. b. (RS) — [RS] — [RS) — RS. La longueur s'écrit sans crochets ni parenthèses, parce que c'est un nombre et non un objet dessiné.

En cas d'erreur : Relis dans le cours les encadrés « Le point » et « La droite, le segment, la demi-droite ». Puis refais les exercices 1 et 5 de la fiche.

Exercice 2 : Appartenir, ou pas

Les points R, S et T sont alignés, dans cet ordre.

a. Le point T appartient-il à la droite (RS) ? Écrire la réponse avec le symbole qui convient.

b. Le point T appartient-il au segment [RS] ? Expliquer.

Réponse : a. Oui : T ∈ (RS). Une droite n'a pas de bout — elle continue au-delà de S. b. Non : T ∉ [RS]. Le segment s'arrête en S, et T est au-delà.

En cas d'erreur : Relis dans le cours les encadrés « Appartenir à une droite » et « Des points alignés ». Puis refais les exercices 2 et 5 de la fiche.

Exercice 3 : Parallèles, vraiment ?

Deux droites (u) et (v), tracées sur une feuille, ne se coupent pas.

a. Peut-on affirmer qu'elles sont parallèles ?

b. Expliquer comment on tranche pour de bon.

Réponse : a. Non. Elles peuvent très bien se couper au-delà du bord de la feuille. b. On mesure l'écart entre les deux droites en deux endroits éloignés l'un de l'autre. Si l'écart est le même, elles sont parallèles ; s'il change, elles finiront par se couper. On peut aussi vérifier à l'équerre qu'elles sont toutes deux perpendiculaires à une même droite.

En cas d'erreur : Relis dans le cours les encadrés « Deux droites parallèles » et « Trois positions, et trois seulement ». Puis refais les exercices 3 et 6 de la fiche.

Exercice 4 : Tracer une perpendiculaire

Dans le cadre ci-dessous :

a. Tracer une droite (h), puis placer un point T qui n'est pas sur cette droite.

b. Tracer la perpendiculaire à la droite (h) qui passe par le point T.

c. Coder l'angle droit.

Réponse : Poser le côté de l'angle droit de l'équerre le long de la droite (h) — et non sur le point T. Faire glisser l'équerre le long de (h) jusqu'à ce que l'autre côté passe par T. Tracer, puis coder l'angle droit par un petit carré. Une seule perpendiculaire à (h) passe par T.

En cas d'erreur : Relis dans le cours les encadrés « Deux droites perpendiculaires » et « Tracer une perpendiculaire à l'équerre ». Puis refais les exercices 4 et 6 de la fiche.

Exercice 5 : Écrire un programme de construction

Écrire, en trois consignes au plus, un programme de construction qui permette à un camarade de tracer, sans voir ta feuille : un segment [UV] de 6 cm, puis la perpendiculaire à (UV) passant par U.

Réponse : Par exemple : « 1. Tracer un segment [UV] de 6 cm. 2. Tracer la droite perpendiculaire à la droite (UV) qui passe par le point U. 3. Coder l'angle droit. » Chaque consigne donne un seul geste, nomme les points, et donne la longueur. Une consigne comme « tracer un trait droit » ne suffit pas : elle ne dit ni où, ni combien.

En cas d'erreur : Relis dans le cours les encadrés « La droite, le segment, la demi-droite » et « Tracer une perpendiculaire à l'équerre ». Puis refais l'exercice 7 de la fiche.

Durée : 18 minutes. Il n'y a pas de note : chaque exercice mesure une compétence, et tu recevras un niveau pour chacune.

Exercice 1 : Les écritures de la géométrie

a. Comment nomme-t-on un point ? Où place-t-on sa lettre ?

b. Compléter avec (AB), [AB], [AB) ou AB :

• la droite qui passe par A et B se note ……
• le segment d'extrémités A et B se note ……
• la demi-droite d'origine A passant par B se note ……
• la longueur du segment d'extrémités A et B se note ……

Réponse : a. Par une lettre majuscule. La lettre se place à côté de la croix, jamais dessus, sinon on ne voit plus où est le point. b. (AB) — [AB] — [AB) — AB. La longueur s'écrit sans crochets ni parenthèses, parce que c'est un nombre et non un objet dessiné.

En cas d'erreur : Relis dans le cours les encadrés « Le point » et « La droite, le segment, la demi-droite ». Puis refais les exercices 1 et 5 de la fiche.

Quand mettre quel niveau

Exercice 2 : Appartenir, ou pas

Les points A, B et C sont alignés, dans cet ordre.

a. Le point C appartient-il à la droite (AB) ? Écrire la réponse avec le symbole qui convient.

b. Le point C appartient-il au segment [AB] ? Expliquer.

Réponse : a. Oui : C ∈ (AB). Une droite n'a pas de bout — elle continue au-delà de B. b. Non : C ∉ [AB]. Le segment s'arrête en B, et C est au-delà.

En cas d'erreur : Relis dans le cours les encadrés « Appartenir à une droite » et « Des points alignés ». Puis refais les exercices 2 et 5 de la fiche.

Quand mettre quel niveau

Exercice 3 : Parallèles, vraiment ?

Deux droites (d1) et (d2), tracées sur une feuille, ne se coupent pas.

a. Peut-on affirmer qu'elles sont parallèles ?

b. Expliquer comment on tranche pour de bon.

Réponse : a. Non. Elles peuvent très bien se couper au-delà du bord de la feuille. b. On mesure l'écart entre les deux droites en deux endroits éloignés l'un de l'autre. Si l'écart est le même, elles sont parallèles ; s'il change, elles finiront par se couper. On peut aussi vérifier à l'équerre qu'elles sont toutes deux perpendiculaires à une même droite.

En cas d'erreur : Relis dans le cours les encadrés « Deux droites parallèles » et « Trois positions, et trois seulement ». Puis refais les exercices 3 et 6 de la fiche.

Quand mettre quel niveau

Exercice 4 : Tracer une perpendiculaire

Dans le cadre ci-dessous :

a. Tracer une droite (d), puis placer un point M qui n'est pas sur cette droite.

b. Tracer la perpendiculaire à la droite (d) qui passe par le point M.

c. Coder l'angle droit.

Réponse : Poser le côté de l'angle droit de l'équerre le long de la droite (d) — et non sur le point M. Faire glisser l'équerre le long de (d) jusqu'à ce que l'autre côté passe par M. Tracer, puis coder l'angle droit par un petit carré. Une seule perpendiculaire à (d) passe par M.

En cas d'erreur : Relis dans le cours les encadrés « Deux droites perpendiculaires » et « Tracer une perpendiculaire à l'équerre ». Puis refais les exercices 4 et 6 de la fiche.

Quand mettre quel niveau

Exercice 5 : Écrire un programme de construction

Écrire, en trois consignes au plus, un programme de construction qui permette à un camarade de tracer, sans voir ta feuille : un segment [EF] de 5 cm, puis la perpendiculaire à (EF) passant par E.

Réponse : Par exemple : « 1. Tracer un segment [EF] de 5 cm. 2. Tracer la droite perpendiculaire à la droite (EF) qui passe par le point E. 3. Coder l'angle droit. » Chaque consigne donne un seul geste, nomme les points, et donne la longueur. Une consigne comme « tracer un trait droit » ne suffit pas : elle ne dit ni où, ni combien.

En cas d'erreur : Relis dans le cours les encadrés « La droite, le segment, la demi-droite » et « Tracer une perpendiculaire à l'équerre ». Puis refais l'exercice 7 de la fiche.

Quand mettre quel niveau

Durée : 18 minutes. Il n'y a pas de note : chaque exercice mesure une compétence, et tu recevras un niveau pour chacune.

Exercice 1 : Les écritures de la géométrie

a. Comment nomme-t-on un point ? Où place-t-on sa lettre ?

b. Compléter avec (MN), [MN], [MN) ou MN :

• la droite qui passe par M et N se note ……
• le segment d'extrémités M et N se note ……
• la demi-droite d'origine M passant par N se note ……
• la longueur du segment d'extrémités M et N se note ……

Réponse : a. Par une lettre majuscule. La lettre se place à côté de la croix, jamais dessus, sinon on ne voit plus où est le point. b. (MN) — [MN] — [MN) — MN. La longueur s'écrit sans crochets ni parenthèses, parce que c'est un nombre et non un objet dessiné.

En cas d'erreur : Relis dans le cours les encadrés « Le point » et « La droite, le segment, la demi-droite ». Puis refais les exercices 1 et 5 de la fiche.

Quand mettre quel niveau

Exercice 2 : Appartenir, ou pas

Les points M, N et P sont alignés, dans cet ordre.

a. Le point P appartient-il à la droite (MN) ? Écrire la réponse avec le symbole qui convient.

b. Le point P appartient-il au segment [MN] ? Expliquer.

Réponse : a. Oui : P ∈ (MN). Une droite n'a pas de bout — elle continue au-delà de N. b. Non : P ∉ [MN]. Le segment s'arrête en N, et P est au-delà.

En cas d'erreur : Relis dans le cours les encadrés « Appartenir à une droite » et « Des points alignés ». Puis refais les exercices 2 et 5 de la fiche.

Quand mettre quel niveau

Exercice 3 : Parallèles, vraiment ?

Deux droites (a) et (b), tracées sur une feuille, ne se coupent pas.

a. Peut-on affirmer qu'elles sont parallèles ?

b. Expliquer comment on tranche pour de bon.

Réponse : a. Non. Elles peuvent très bien se couper au-delà du bord de la feuille. b. On mesure l'écart entre les deux droites en deux endroits éloignés l'un de l'autre. Si l'écart est le même, elles sont parallèles ; s'il change, elles finiront par se couper. On peut aussi vérifier à l'équerre qu'elles sont toutes deux perpendiculaires à une même droite.

En cas d'erreur : Relis dans le cours les encadrés « Deux droites parallèles » et « Trois positions, et trois seulement ». Puis refais les exercices 3 et 6 de la fiche.

Quand mettre quel niveau

Exercice 4 : Tracer une perpendiculaire

Dans le cadre ci-dessous :

a. Tracer une droite (g), puis placer un point P qui n'est pas sur cette droite.

b. Tracer la perpendiculaire à la droite (g) qui passe par le point P.

c. Coder l'angle droit.

Réponse : Poser le côté de l'angle droit de l'équerre le long de la droite (g) — et non sur le point P. Faire glisser l'équerre le long de (g) jusqu'à ce que l'autre côté passe par P. Tracer, puis coder l'angle droit par un petit carré. Une seule perpendiculaire à (g) passe par P.

En cas d'erreur : Relis dans le cours les encadrés « Deux droites perpendiculaires » et « Tracer une perpendiculaire à l'équerre ». Puis refais les exercices 4 et 6 de la fiche.

Quand mettre quel niveau

Exercice 5 : Écrire un programme de construction

Écrire, en trois consignes au plus, un programme de construction qui permette à un camarade de tracer, sans voir ta feuille : un segment [KL] de 7 cm, puis la perpendiculaire à (KL) passant par K.

Réponse : Par exemple : « 1. Tracer un segment [KL] de 7 cm. 2. Tracer la droite perpendiculaire à la droite (KL) qui passe par le point K. 3. Coder l'angle droit. » Chaque consigne donne un seul geste, nomme les points, et donne la longueur. Une consigne comme « tracer un trait droit » ne suffit pas : elle ne dit ni où, ni combien.

En cas d'erreur : Relis dans le cours les encadrés « La droite, le segment, la demi-droite » et « Tracer une perpendiculaire à l'équerre ». Puis refais l'exercice 7 de la fiche.

Quand mettre quel niveau

Ce que j'imprime, et où ça se colle

Les élèves n'ont qu'un cahier : la leçon au recto, les exercices au verso. Rien de tout cela n'est imprimé sur leur feuille — c'est vous qui le dites en distribuant.

Ce qui est annoncé aux élèves

Je vais apprendre à…

• Nommer un point, une droite, un segment et une demi-droite, et les tracer. — consolidation du cours moyen
• Lire et écrire les notations : la droite (AB), le segment [AB], la longueur AB. — consolidation du cours moyen
• Dire si des points sont alignés, et si un point appartient à une droite. — consolidation du cours moyen
• Reconnaître deux droites perpendiculaires, et en tracer à l'équerre. — consolidation du cours moyen
• Reconnaître deux droites parallèles, et en tracer. — consolidation du cours moyen
• Se servir de la règle, de l'équerre et du compas, et coder une figure. — consolidation du cours moyen

Je dois savoir…

• Je sais nommer un point avec une lettre majuscule.
• Je sais écrire la droite (AB), le segment [AB], la demi-droite [AB) et la longueur AB.
• Je sais dire si un point appartient à une droite, et l'écrire.
• Je sais dire si trois points sont alignés.
• Je sais reconnaître deux droites perpendiculaires et les coder.
• Je sais reconnaître deux droites parallèles.
• Je sais tracer une perpendiculaire à l'équerre, passant par un point donné.

Les quatre séances

Séance 1 — On termine le chapitre 1, puis la pochette du chapitre 2

À distribuer : évaluation blanche — ne pas coller. C'est l'évaluation, avec d'autres lettres et d'autres longueurs. Le corrigé est dans la pochette CORRIGÉS, au fond de la classe. Rien n'est ramassé.

À distribuer : je me situe — ne pas coller. Dans la pochette. On la ressort pour clôturer le chapitre, quelques jours avant l'évaluation.

À distribuer : plan de travail — ne pas coller. Dans la pochette : c'est la feuille de route du chapitre. Je coche chaque exercice fait.

Séance 2 — Le dessin dicté, puis le cours : parties I et II

À distribuer : cours à compléter — partie leçon (recto), toutes les pages

Oral, étape 2 — Reformuler une consigne géométrique avant de tracer : L'élève A décrit la figure sans la montrer. Avant de tracer, l'élève B reformule la consigne avec ses propres mots ; A valide ou corrige, puis B trace. Le professeur observe la précision du vocabulaire, pas la ressemblance seule du dessin.

Séance 3 — Deux droites, et tracer à l'équerre : parties III et IV

À distribuer : exercices — partie exercices (verso), toutes les pages

À distribuer : carte mentale — ne pas coller. À garder dans la pochette. Chaque soir jusqu'à l'évaluation, je cache une branche et j'essaie de la redire.

Séance 4 — L'évaluation du chapitre

À distribuer : évaluation du chapitre (sujets A et B) — ne pas coller. La feuille de l'épreuve : elle se remet le jour même.

Les rituels d'automatismes, et l'erreur que chacun vise

Aucun de ces rituels ne porte sur la notion du chapitre : en 6e, un automatisme porte uniquement sur un acquis du cours moyen, et il prépare ce qui vient. Trois variantes par item, pour que l'élève retienne la procédure et non la réponse.

Séance 1 — placer les aiguilles pour une heure donnée ; unités de durée et relations entre elles ; jours dans une année, années dans un siècle…

Placer les aiguilles pour une heure donnée

Erreur visée : Placer la petite aiguille exactement sur le chiffre de l'heure, alors qu'elle doit être décalée selon les minutes écoulées.

À faire verbaliser : À 4 h 30, la petite aiguille est à mi-chemin entre le 4 et le 5, pas sur le 4.

Unités de durée et relations entre elles

Erreur visée : Convertir les durées en base dix, et croire qu'une heure vaut 100 minutes.

À faire verbaliser : Les durées ne se comptent pas par dix : 60 secondes font une minute, 60 minutes font une heure.

Jours dans une année, années dans un siècle et un millénaire

Erreur visée : Oublier l'année bissextile, ou confondre le siècle et le millénaire.

À faire verbaliser : Une année bissextile revient tous les quatre ans, et compte un jour de plus.

Séance 4 — demi-heure, quart d'heure, trois quarts… ; identifier les solides usuels ; lire un tableau, un diagramme en barres, un…

Demi-heure, quart d'heure, trois quarts d'heure

Erreur visée : Prendre la moitié de 100 au lieu de la moitié de 60, et répondre qu'une demi-heure fait 50 minutes.

À faire verbaliser : Une heure vaut 60 minutes : sa moitié est 30, son quart est 15.

Identifier les solides usuels

Erreur visée : Confondre le pavé droit et le cube, ou la pyramide et le cône, en ne regardant que la silhouette.

À faire verbaliser : On regarde les faces : combien il y en a, quelle forme elles ont, et si elles sont planes ou courbes.

Lire un tableau, un diagramme en barres, un diagramme circulaire

Erreur visée : Lire la hauteur d'une barre sans avoir regardé ce que vaut une graduation de l'axe.

À faire verbaliser : On lit d'abord ce que vaut une graduation, ensuite seulement la barre.

Ce que l'élève fait ensuite, selon son niveau

Ce texte est adressé à l'ÉLÈVE. Rien ici ne demande de relever quoi que ce soit : il lit son niveau sur sa copie et il sait vers quel parcours aller.

4 séances · 6 objectifs, tous acquis du cours moyen, aucun neuf · période 1

Jeudi 17 septembre, 9 h 25 et 15 h · lundi 21, 11 h 30 · lundi 28, 9 h 25.

Ce qu'il faut imprimer, et en combien d'exemplaires

À faire une fois, avant la séance 1.

• La blanche part le premier jour ; l'évaluation, le jour de l'épreuve.
• Le corrigé de la blanche ne se distribue jamais : il est dans la pochette.
• « Je me situe » se colorie deux fois : séance 1, puis à la fin de la séance 3.
• Le jour de l'épreuve ne porte que l'épreuve.

Le cours, en quatre parties numérotées

• I — le point, la droite, le segment, la demi-droite. Séance 2.
• II — appartenir à une droite, points alignés. Séance 2.
• III — droites perpendiculaires, droites parallèles. Séance 3.
• IV — tracer une perpendiculaire à l'équerre. Séance 3.

Le calcul du jour

• Séance 1 : il saute, le quart d'heure de lecture prend sa place.
• Séances 2 et 3 : secondes heures de la journée, il a eu lieu le matin.
• Séance 4 : il a lieu, avant l'épreuve.
• Il ne porte pas sur la géométrie du jour, et c'est voulu.

Séance par séance

Séance 1 — On termine le chapitre 1, puis la pochette du chapitre 2

Jeudi 17 septembre, 9 h 25 — 35 minutes seulement : quart d'heure de lecture.

• Aucune leçon : la moitié de l'heure appartient au chapitre 1.
• Glisser le corrigé de la blanche du chapitre 2 dans la pochette CORRIGÉS.

Séance 2 — Le dessin dicté, puis le cours : parties I et II

Jeudi 17 septembre, 15 h — seconde heure du jour.

• Ne pas exiger les notations : rien n'en est exigible en 6e.
• On écrit « tracer le segment [AB] », jamais « tracer [AB] ».
• Pas de cahier Transmath ce week-end : il y a une évaluation lundi.

Séance 3 — Deux droites, et tracer à l'équerre : parties III et IV

Lundi 21 septembre, 11 h 30 — seconde heure du jour. L'évaluation du chapitre 1 a eu lieu à 9 h 25.

• L'équerre se pose le long de la droite, puis on glisse jusqu'à M.
• La paire 3 est le piège : les droites se coupent loin de la feuille.
• Annoncer la suite : « la médiatrice, c'est une droite perpendiculaire ».

Séance 4 — L'évaluation du chapitre

Lundi 28 septembre, 9 h 25 — une semaine après la dernière leçon.

• Rien avant l'épreuve : ni exercice, ni « je me situe ».
• Le chapitre 3 a commencé le mercredi 23 : c'est normal.

Ce qu'on ne fait pas

• On n'enseigne rien de neuf : les six objectifs sont des acquis du cours moyen.
• On ne distribue pas le corrigé de la blanche.
• On ne fait pas porter le rituel sur la géométrie du jour.
• On ne ramasse rien d'autre que l'évaluation.

Arbitrage pris le 13 septembre 2026

• Le chapitre prend quatre séances ; son évaluation est seule, le lundi 28.
• L'heure vient de la séance de problèmes, qui passe du 23 septembre au 14 octobre.
• « Je me situe » se colorie à la clôture, jamais le matin de l'épreuve.
• Le plan de travail tient en un seul tableau ; « je me situe », en une feuille.

I · Le point, la droite, le segment, la demi-droite

II · Appartenir à une droite, points alignés

III · Droites perpendiculaires, droites parallèles

Trois positions, et trois seulement

Des droites perpendiculaires sont aussi des droites sécantes : c'est un cas particulier.

IV · Tracer une perpendiculaire à l'équerre

Tracer une perpendiculaire à l'équerre

Pour tracer la perpendiculaire à la droite (d) passant par le point M :

1. Poser le côté de l'angle droit de l'équerre le long de la droite (d).

2. Faire glisser l'équerre le long de (d) jusqu'à ce que l'autre côté passe par M.

3. Tracer le long de ce second côté.

4. Coder l'angle droit par un petit carré.