Les nombres entiers

La place change tout

525 = (............ × 100) + (............ × 10) + (............ × 1)

Les deux chiffres 5 n'ont pas la même valeur. Celui de gauche vaut ............. Celui de droite vaut .............

Le tableau de numération

Lire un grand nombre

Le nombre du tableau s'écrit 1 049 658 723.

Il se lit : ...............................................................................................................................................................................................................

Le chiffre des millions est .............

Le nombre de millions est .....................

Deux comparaisons

24 361 > 8 765 car 24 361 a ............ chiffres et 8 765 en a .............

4 329 < 4 351 : même nombre de chiffres, alors on compare de gauche à droite. Les milliers sont égaux, les centaines sont égales, et .....................

Essentiel — à faire

1. Tous les nombres possibles≈ 13 min

Écrire tous les nombres de trois chiffres formés avec 2, 5 et 3, chacun utilisé une seule fois.

a. Écrire tous les nombres possibles.

b. Les ranger du plus petit au plus grand.

c. Sans regarder la liste : lequel est le plus grand ? Comment le sait-on ?

d. Avec quatre chiffres — 2, 5, 3 et 7 — combien de nombres pourrait-on écrire ? Sans tous les écrire. Expliquer comment on le trouve.

Corrigé

a. Six nombres sont possibles : 235, 253, 325, 352, 523, 532.

b. 235 < 253 < 325 < 352 < 523 < 532

Ce sont les mêmes trois chiffres à chaque fois. Ce qui change, c'est la place de chacun, donc sa valeur. Dans 235, le 2 vaut 200. Dans 523, le 2 vaut 20.

c. Le plus grand est 532 : on met le plus grand chiffre à la place qui vaut le plus, c'est-à-dire celle des centaines. Puis le suivant aux dizaines, et le dernier aux unités.

d. Vingt-quatre.

On s'organise : on choisit d'abord le chiffre des milliers, et il y a 4 façons de le choisir. Pour chacune, il reste 3 chiffres pour les centaines, puis 2 pour les dizaines, puis 1 pour les unités.

4 × 3 × 2 × 1 = 24

⚠️ Autre chemin, tout aussi bon : avec trois chiffres on trouvait 6 nombres. En ajoutant un quatrième chiffre, chacun des 4 chiffres peut prendre la première place, et derrière lui les trois autres se rangent de 6 façons — mais ici c'est 4 × 6 = 24. Les deux raisonnements se valent ; ce qu'on cherche, c'est qu'un élève organise sa recherche au lieu d'écrire au hasard.

2. Le chiffre des…≈ 6 min

Donner le chiffre demandé dans le nombre proposé.

Dans le nombre 6 204 953, donner :

a. le chiffre des unités

b. le chiffre des dizaines

c. le chiffre des centaines

d. le chiffre des milliers

e. le chiffre des dizaines de mille

f. le chiffre des centaines de mille

g. le chiffre des millions

Corrigé

a. 3 — b. 5 — c. 9 — d. 4 — e. 0 — f. 2 — g. 6

On compte les rangs en partant de la droite, jamais de la gauche.

3. Des lettres aux chiffres, des chiffres aux lettres≈ 10 min

Écrire chaque nombre dans l'autre écriture.

Écrire en chiffres :

a. trois-millions-quarante-mille-huit-cents

b. un-milliard-deux-cent-cinq-millions

Écrire en lettres :

c. 70 300 015

d. 8 006 040

Corrigé

a. 3 040 800 — b. 1 205 000 000

c. soixante-dix-millions-trois-cent-mille-quinze

d. huit-millions-six-mille-quarante

Attention aux classes qu'on n'entend pas. Dans « un-milliard-deux-cent-cinq-millions », on n'entend ni les mille ni les unités : il faut pourtant écrire six zéros pour marquer ces deux classes vides.

4. Les distances des planètes au Soleil≈ 12 min

Lire à voix haute chaque distance du tableau.

Voici la distance moyenne de six planètes au Soleil, en kilomètres.

a. À deux, lire chaque distance à voix haute. Celui qui écoute vérifie que les tranches de trois sont bien respectées. Échanger les rôles.

b. Écrire en lettres la distance de Jupiter et celle de Saturne.

c. Quelle est la seule distance qui dépasse le milliard ?

NASA — Public domain

Corrigé

b. Jupiter : sept-cent-soixante-dix-huit-millions-cinq-cent-mille. Saturne : un-milliard-quatre-cent-trente-quatre-millions.

c. Celle de Saturne. C'est la seule qui a dix chiffres : toutes les autres en ont neuf ou moins.

5. Quel nombre est repéré ?≈ 6 min

Donner le nombre repéré par chaque flèche.

Pour chaque demi-droite, chercher d'abord ce que vaut un intervalle, puis donner le nombre repéré par chaque flèche.

Corrigé

Première demi-droite : de 0 à 100 en 10 intervalles, donc un intervalle vaut 10. Les flèches repèrent 30 et 70.

Deuxième demi-droite : de 0 à 10 000 en 10 intervalles, donc un intervalle vaut 1 000. Les flèches repèrent 4 000 et 9 000.

Troisième demi-droite : de 1 000 à 1 500 en 5 intervalles, donc un intervalle vaut 100. Les flèches repèrent 1 200 et 1 700.

La première question à se poser est toujours la même : que vaut un intervalle ?

Consolidation — pour stabiliser

6. Remettre les espaces≈ 6 min

Réécrire chaque nombre en plaçant les espaces au bon endroit.

Réécrire ces nombres en groupant les chiffres par tranches de trois, puis les lire.

a. 4506231

b. 87024

c. 1200000000

d. 900050

Corrigé

a. 4 506 231 — quatre-millions-cinq-cent-six-mille-deux-cent-trente-et-un

b. 87 024 — quatre-vingt-sept-mille-vingt-quatre

c. 1 200 000 000 — un-milliard-deux-cents-millions

d. 900 050 — neuf-cent-mille-cinquante

Le regroupement part du chiffre des unités, c'est-à-dire de la droite. En partant de la gauche, on obtiendrait 450 623 1 pour le a., ce qui ne veut rien dire.

7. Les cartons de cent bouteilles≈ 13 min

Chercher combien de cartons pleins on peut remplir.

Une usine a produit 4 837 bouteilles. Elle les range dans des cartons qui contiennent 100 bouteilles chacun.

a. Combien de cartons peut-elle remplir complètement ?

b. Combien de bouteilles restera-t-il ?

c. Si les cartons ne contenaient que 10 bouteilles, combien de cartons pleins aurait-on ?

Corrigé

a. 48 cartons pleins.

b. Il restera 37 bouteilles.

c. 483 cartons pleins, et il resterait 7 bouteilles.

On peut l'écrire ainsi : 4 837 = (48 × 100) + 37 et 4 837 = (483 × 10) + 7.

Attention. Le chiffre des centaines de 4 837 est 8. Mais le nombre de centaines est

48. La question ne portait pas sur le chiffre écrit : elle portait sur le nombre de paquets de cent que l'on peut faire.

8. Chiffre ou nombre ?≈ 8 min

Répondre à chaque question en faisant bien la différence entre le chiffre et le nombre.

Dans le nombre 73 205 480 :

a. Quel est le chiffre des dizaines de mille ?

b. Quel est le nombre d'unités de million ?

c. Quel est le chiffre des unités ?

d. Quel est le nombre de milliers ?

e. Quel est le nombre de centaines ?

Corrigé

a. 0 — b. 73 — c. 0 — d. 73 205 — e. 732 054

Une méthode sûre : pour trouver un nombre de, on cache tout ce qui est à droite du rang demandé, et on lit ce qui reste. Pour le nombre de milliers, on cache 480 et on lit 73 205.

9. Graduer soi-même≈ 12 min

Tracer une demi-droite graduée permettant de placer les trois nombres proposés.

On veut placer les nombres 3 000, 6 500 et 8 600 sur une même demi-droite graduée.

a. Choisir ce que représentera un carreau, et l'écrire avant de tracer.

b. Tracer la demi-droite sur une ligne du cahier, marquer l'origine, puis graduer.

c. Placer les trois nombres.

d. Aurait-on pu prendre un carreau pour 100 unités ? Expliquer.

Corrigé

a. Un carreau pour 1 000 unités convient bien.

b. et c. L'origine porte 0. Le nombre 3 000 se place au 3ᵉ carreau, 8 600 entre le 8ᵉ et le 9ᵉ carreau, plus près du 9ᵉ. 6 500 se place exactement au milieu du 6ᵉ et du 7ᵉ carreau.

d. Non. Avec un carreau pour 100 unités, il faudrait 86 carreaux pour atteindre 8 600 : la ligne du cahier n'est pas assez longue. On choisit l'unité en regardant d'abord le plus grand nombre à placer.

10. Ranger huit scores≈ 10 min

Ranger les huit scores dans l'ordre croissant.

Huit joueuses et joueurs d'un jeu en ligne ont enregistré ces scores.

a. Ranger les huit scores dans l'ordre croissant.

b. Qui a le meilleur score ? Comment l'a-t-on vu tout de suite ?

Corrigé

a. 9 950 < 98 470 < 98 740 < 99 000 < 105 003 < 105 030 < 105 300 < 1 004 200

b. Sarah. Son score est le seul à avoir sept chiffres, tous les autres en ont cinq ou six. Il n'y a eu aucun calcul à faire.

Méthode : on trie d'abord par nombre de chiffres. Ensuite seulement, entre nombres ayant le même nombre de chiffres, on compare rang par rang en partant de la gauche.

11. Encadrer≈ 7 min

Encadrer le nombre proposé comme demandé.

Encadrer le nombre 4 837 :

a. à la dizaine

b. à la centaine

c. au millier

Corrigé

a. 4 830 < 4 837 < 4 840

b. 4 800 < 4 837 < 4 900

c. 4 000 < 4 837 < 5 000

Encadrer à la centaine ne veut pas dire « trouver deux nombres proches ». Cela veut dire que les deux bornes doivent être des centaines entières : elles se terminent par deux zéros.

Approfondissement — pour aller plus loin

12. Le nombre mystère≈ 12 min

Retrouver le nombre à partir des cinq indices.

Je suis un nombre de cinq chiffres.

• Mon chiffre des unités est 4.
• Mon chiffre des dizaines est le double de mon chiffre des unités.
• Mon chiffre des centaines est 0.
• Mon nombre de milliers est 27.
• La somme de tous mes chiffres vaut 21.

Qui suis-je ?

Écrire sur la feuille toutes les pistes essayées, même celles qui n'ont pas abouti.

Corrigé

Le nombre est 27 084.

L'indice le plus efficace n'est pas le premier : c'est « mon nombre de milliers est 27 », qui fixe d'un coup les deux chiffres de gauche. Il reste alors 27 _ _ _ à compléter.

Ensuite : chiffre des centaines = 0, chiffre des unités = 4, chiffre des dizaines = 2 × 4 = 8. On obtient 27 084.

Vérification par le dernier indice : 2 + 7 + 0 + 8 + 4 = 21. C'est bien 21.

Le dernier indice ne sert pas à trouver : il sert à vérifier. Un bon problème donne souvent de quoi contrôler sa propre réponse.

13. Ce que pèse un fichier≈ 12 min

Convertir chaque taille de fichier en octets.

Un octet est la place qu'occupe une lettre dans la mémoire d'un ordinateur.

• 1 kilooctet (ko) = 1 000 octets
• 1 mégaoctet (Mo) = 1 000 ko
• 1 gigaoctet (Go) = 1 000 Mo

a. Combien d'octets y a-t-il dans 1 Go ?

b. Une photo pèse 4 Mo. Combien d'octets ?

c. Une clé USB peut contenir 64 Go. Combien d'octets ?

d. Que remarque-t-on entre ce tableau et le tableau de numération du cours ?

Corrigé

a. 1 Go = 1 000 × 1 000 × 1 000 = 1 000 000 000 octets, c'est-à-dire un milliard.

b. 4 Mo = 4 × 1 000 000 = 4 000 000 octets.

c. 64 Go = 64 × 1 000 000 000 = 64 000 000 000 octets, soit soixante-quatre milliards.

d. C'est exactement le même système : on regroupe par mille à chaque fois. Le kilooctet est au millier ce que le mégaoctet est au million, et le gigaoctet au milliard. Les tranches de trois chiffres du cours et les préfixes kilo, méga, giga disent la même chose.

14. Trouver l'erreur≈ 8 min

Expliquer l'erreur commise par cet élève.

On demandait d'écrire en chiffres le nombre quatre-milliards-cinq-cent-millions.

Un élève a écrit : 4 500 000

a. Expliquer pourquoi ce n'est pas le bon nombre.

b. Écrire le nombre correctement.

c. Quel nombre l'élève a-t-il écrit, en réalité ?

Corrigé

a. L'élève a écrit les chiffres qu'il entendait — 4, puis 5 — mais il n'a pas marqué les classes qu'il n'entendait pas. Un milliard a quatre classes : milliards, millions, mille, unités simples. Chacune doit occuper trois rangs, même quand elle est vide.

b. 4 500 000 000

c. Il a écrit quatre-millions-cinq-cent-mille. Il s'est trompé de deux classes entières, c'est-à-dire d'un facteur mille.

Moyen de contrôle : un nombre de milliards a toujours au moins dix chiffres. Ici, 4 500 000 n'en a que sept. On pouvait le voir sans rien calculer.

Durée : 25 minutes. Il n'y a pas de note : chaque exercice mesure une compétence, et tu recevras un niveau pour chacune.

Ceci n'est pas l'évaluation, c'est l'évaluation blanche. Mêmes exercices, mêmes compétences, d'autres nombres. Tu l'as depuis le premier jour du chapitre : refais-la autant de fois que tu veux, corrige-toi tout seul avec la feuille de corrigé, et tu verras ce qu'il te reste à revoir.

Exercice 1 : Ce que je dois savoir par cœur

c. Écrire une phrase qui dit la différence entre un chiffre et un nombre.

Réponse : a. 10 — 10. Chaque rang vaut dix fois celui qui est à sa droite. b. On groupe les chiffres par tranches de trois, en partant de la droite, et on laisse un espace entre les tranches : 45 678 901. Jamais de point, jamais de virgule. c. Un chiffre est un signe : il y en a dix, de 0 à 9. Un nombre s'écrit avec un ou plusieurs chiffres, et sa valeur dépend de la place de chacun.

En cas d'erreur : Relis dans le cours les encadrés « Chiffres et nombres » et « Lire les grands nombres ». Puis refais les exercices 1 et 6 de la fiche.

Exercice 2 : Le chiffre des…, le nombre de…

On considère le nombre 36 208.

b. Compléter : 36 208 = (3 × 10 000) + (6 × 1 000) + (2 × ……) + (…… × 10) + 8.

Réponse : a. Le chiffre des centaines est 2 — c'est le chiffre qui occupe ce rang. Le nombre de centaines est 362 : on lit tout ce qui est à gauche du rang des centaines, ce rang compris, car 36 208 = (362 × 100) + 8. b. (2 × 100) + (0 × 10) + 8. Il n'y a aucune dizaine, mais le rang existe et son chiffre doit être écrit.

En cas d'erreur : Relis dans le cours les encadrés « Le chiffre des… et le nombre de… » et « La place change tout ». Puis refais les exercices 2 et 7 de la fiche.

Exercice 3 : Lire et écrire un grand nombre

Réponse : a. 5 020 000 000. La classe des millions est occupée ; les classes des mille et des unités sont vides, et leurs six zéros doivent être écrits. b. trois-cent-mille-cinquante. c. 1 830 000 — tranches de trois en partant de la droite.

En cas d'erreur : Relis dans le cours les encadrés « Lire les grands nombres » et « Lire un grand nombre ». Puis refais les exercices 3, 4 et 6 de la fiche.

Exercice 4 : Sur la demi-droite graduée

Sur la demi-droite graduée ci-dessus, l'origine porte 0 et la sixième graduation porte 600.

c. Sur la demi-droite graduée ci-dessus, placer le point A qui repère 400, et le point B qui repère 750. Nommer les deux points.

Réponse : a. Un intervalle vaut 100 : entre 0 et 600 il y a autant d'intervalles que de centaines, et on partage. b. La flèche désigne 900. c. A se place sur la quatrième graduation. B n'est sur aucune graduation : il est au milieu de l'intervalle qui va de 700 à 800. Les deux points doivent être nommés.

En cas d'erreur : Relis dans le cours l'encadré « La demi-droite graduée ». Puis refais les exercices 5 et 9 de la fiche.

Exercice 5 : Comparer, ranger, encadrer

Réponse : a. 6 059 < 6 509. Les deux nombres ont quatre chiffres : on compare rang par rang, en commençant par la gauche, jusqu'au premier rang où ils diffèrent. b. 9 989 < 11 007 < 11 070 < 11 700. Le nombre 9 989 a quatre chiffres, les trois autres en ont cinq : il est donc le plus petit. c. 4 800 < 4 826 < 4 900.

En cas d'erreur : Relis dans le cours les encadrés « Comparer deux nombres entiers » et « Ranger et encadrer ». Puis refais les exercices 10 et 11 de la fiche.

Exercice 6 : L'erreur de Sam

Sam écrit : « 9 989 est plus grand que 11 007, parce que 9 est plus grand que 1. »

b. Expliquer en une phrase pourquoi son raisonnement ne fonctionne pas.

Réponse : a. Non. 9 989 < 11 007. b. On ne compare pas deux nombres entiers en regardant leur premier chiffre : on commence par compter les chiffres. 9 989 en a quatre, 11 007 en a cinq, donc 11 007 est le plus grand. Le chiffre 9 est un chiffre des milliers ; le chiffre 1 est un chiffre des dizaines de milliers, et il vaut davantage.

En cas d'erreur : Relis dans le cours les encadrés « La place change tout » et « Comparer deux nombres entiers ». Puis refais les exercices 8 et 10 de la fiche.

Exercice 7 : Ce que pèsent trois fichiers

Trois fichiers occupent de la mémoire. Leurs tailles sont annoncées différemment : une photo, 5400000 octets · une vidéo, deux-milliards-trois-cents-millions d'octets · un morceau de musique, 18000000 octets.

a. Écrire les trois tailles en chiffres, avec les espaces.

Réponse : a. Photo 5 400 000 · vidéo 2 300 000 000 · musique 18 000 000. b. La photo (5 400 000) est la plus légère, puis la musique (18 000 000), puis la vidéo (2 300 000 000). La vidéo a dix chiffres, les deux autres en ont sept et huit. c. 5 millions : 5 400 000 = (5 × 1 000 000) + 400 000. Le nombre de millions se lit à gauche de la classe des millions.

En cas d'erreur : Relis dans le cours les encadrés « Lire les grands nombres » et « Comparer deux nombres entiers ». Puis refais les exercices 12 et 13 de la fiche.

Durée : 25 minutes. Il n'y a pas de note : chaque exercice mesure une compétence, et tu recevras un niveau pour chacune.

Exercice 1 : Ce que je dois savoir par cœur

c. Écrire une phrase qui dit la différence entre un chiffre et un nombre.

Réponse : a. 10 — 10. Chaque rang vaut dix fois celui qui est à sa droite. b. On groupe les chiffres par tranches de trois, en partant de la droite, et on laisse un espace entre les tranches : 12 345 678. Jamais de point, jamais de virgule. c. Un chiffre est un signe : il y en a dix, de 0 à 9. Un nombre s'écrit avec un ou plusieurs chiffres, et sa valeur dépend de la place de chacun.

En cas d'erreur : Relis dans le cours les encadrés « Chiffres et nombres » et « Lire les grands nombres ». Puis refais les exercices 1 et 6 de la fiche.

Quand mettre quel niveau

Exercice 2 : Le chiffre des…, le nombre de…

On considère le nombre 47 305.

b. Compléter : 47 305 = (4 × 10 000) + (7 × 1 000) + (3 × ……) + (…… × 10) + 5.

Réponse : a. Le chiffre des centaines est 3 — c'est le chiffre qui occupe ce rang. Le nombre de centaines est 473 : on lit tout ce qui est à gauche du rang des centaines, ce rang compris, car 47 305 = (473 × 100) + 5. b. (3 × 100) + (0 × 10) + 5. Il n'y a aucune dizaine, mais le rang existe et son chiffre doit être écrit.

En cas d'erreur : Relis dans le cours les encadrés « Le chiffre des… et le nombre de… » et « La place change tout ». Puis refais les exercices 2 et 7 de la fiche.

Quand mettre quel niveau

Exercice 3 : Lire et écrire un grand nombre

Réponse : a. 2 030 000 000. La classe des millions est occupée ; les classes des mille et des unités sont vides, et leurs six zéros doivent être écrits. b. quatre-cent-mille-soixante-dix. c. 1 250 000 — tranches de trois en partant de la droite.

En cas d'erreur : Relis dans le cours les encadrés « Lire les grands nombres » et « Lire un grand nombre ». Puis refais les exercices 3, 4 et 6 de la fiche.

Quand mettre quel niveau

Exercice 4 : Sur la demi-droite graduée

Sur la demi-droite graduée ci-dessus, l'origine porte 0 et la cinquième graduation porte 500.

c. Sur la demi-droite graduée ci-dessus, placer le point A qui repère 300, et le point B qui repère 650. Nommer les deux points.

Réponse : a. Un intervalle vaut 100 : entre 0 et 500 il y a autant d'intervalles que de centaines, et on partage. b. La flèche désigne 800. c. A se place sur la troisième graduation. B n'est sur aucune graduation : il est au milieu de l'intervalle qui va de 600 à 700. Les deux points doivent être nommés.

En cas d'erreur : Relis dans le cours l'encadré « La demi-droite graduée ». Puis refais les exercices 5 et 9 de la fiche.

Quand mettre quel niveau

Exercice 5 : Comparer, ranger, encadrer

Réponse : a. 8 097 < 8 907. Les deux nombres ont quatre chiffres : on compare rang par rang, en commençant par la gauche, jusqu'au premier rang où ils diffèrent. b. 9 998 < 12 004 < 12 040 < 12 400. Le nombre 9 998 a quatre chiffres, les trois autres en ont cinq : il est donc le plus petit. c. 6 300 < 6 391 < 6 400.

En cas d'erreur : Relis dans le cours les encadrés « Comparer deux nombres entiers » et « Ranger et encadrer ». Puis refais les exercices 10 et 11 de la fiche.

Quand mettre quel niveau

Exercice 6 : L'erreur de Sam

Sam écrit : « 9 998 est plus grand que 12 004, parce que 9 est plus grand que 1. »

b. Expliquer en une phrase pourquoi son raisonnement ne fonctionne pas.

Réponse : a. Non. 9 998 < 12 004. b. On ne compare pas deux nombres entiers en regardant leur premier chiffre : on commence par compter les chiffres. 9 998 en a quatre, 12 004 en a cinq, donc 12 004 est le plus grand. Le chiffre 9 est un chiffre des milliers ; le chiffre 1 est un chiffre des dizaines de milliers, et il vaut davantage.

En cas d'erreur : Relis dans le cours les encadrés « La place change tout » et « Comparer deux nombres entiers ». Puis refais les exercices 8 et 10 de la fiche.

Quand mettre quel niveau

Exercice 7 : Ce que pèsent trois fichiers

Trois fichiers occupent de la mémoire. Leurs tailles sont annoncées différemment : une photo, 4500000 octets · une vidéo, deux-milliards-cent-millions d'octets · un morceau de musique, 12000000 octets.

a. Écrire les trois tailles en chiffres, avec les espaces.

Réponse : a. Photo 4 500 000 · vidéo 2 100 000 000 · musique 12 000 000. b. La photo (4 500 000) est la plus légère, puis la musique (12 000 000), puis la vidéo (2 100 000 000). La vidéo a dix chiffres, les deux autres en ont sept et huit. c. 4 millions : 4 500 000 = (4 × 1 000 000) + 500 000. Le nombre de millions se lit à gauche de la classe des millions.

En cas d'erreur : Relis dans le cours les encadrés « Lire les grands nombres » et « Comparer deux nombres entiers ». Puis refais les exercices 12 et 13 de la fiche.

Quand mettre quel niveau

Durée : 25 minutes. Il n'y a pas de note : chaque exercice mesure une compétence, et tu recevras un niveau pour chacune.

Exercice 1 : Ce que je dois savoir par cœur

c. Écrire une phrase qui dit la différence entre un chiffre et un nombre.

Réponse : a. 10 — 10. Chaque rang vaut dix fois celui qui est à sa droite. b. On groupe les chiffres par tranches de trois, en partant de la droite, et on laisse un espace entre les tranches : 9 876 543. Jamais de point, jamais de virgule. c. Un chiffre est un signe : il y en a dix, de 0 à 9. Un nombre s'écrit avec un ou plusieurs chiffres, et sa valeur dépend de la place de chacun.

En cas d'erreur : Relis dans le cours les encadrés « Chiffres et nombres » et « Lire les grands nombres ». Puis refais les exercices 1 et 6 de la fiche.

Quand mettre quel niveau

Exercice 2 : Le chiffre des…, le nombre de…

On considère le nombre 58 406.

b. Compléter : 58 406 = (5 × 10 000) + (8 × 1 000) + (4 × ……) + (…… × 10) + 6.

Réponse : a. Le chiffre des centaines est 4 — c'est le chiffre qui occupe ce rang. Le nombre de centaines est 584 : on lit tout ce qui est à gauche du rang des centaines, ce rang compris, car 58 406 = (584 × 100) + 6. b. (4 × 100) + (0 × 10) + 6. Il n'y a aucune dizaine, mais le rang existe et son chiffre doit être écrit.

En cas d'erreur : Relis dans le cours les encadrés « Le chiffre des… et le nombre de… » et « La place change tout ». Puis refais les exercices 2 et 7 de la fiche.

Quand mettre quel niveau

Exercice 3 : Lire et écrire un grand nombre

Réponse : a. 3 040 000 000. La classe des millions est occupée ; les classes des mille et des unités sont vides, et leurs six zéros doivent être écrits. b. six-cent-mille-quatre-vingt-dix. c. 1 470 000 — tranches de trois en partant de la droite.

En cas d'erreur : Relis dans le cours les encadrés « Lire les grands nombres » et « Lire un grand nombre ». Puis refais les exercices 3, 4 et 6 de la fiche.

Quand mettre quel niveau

Exercice 4 : Sur la demi-droite graduée

Sur la demi-droite graduée ci-dessus, l'origine porte 0 et la quatrième graduation porte 400.

c. Sur la demi-droite graduée ci-dessus, placer le point A qui repère 200, et le point B qui repère 550. Nommer les deux points.

Réponse : a. Un intervalle vaut 100 : entre 0 et 400 il y a autant d'intervalles que de centaines, et on partage. b. La flèche désigne 700. c. A se place sur la deuxième graduation. B n'est sur aucune graduation : il est au milieu de l'intervalle qui va de 500 à 600. Les deux points doivent être nommés.

En cas d'erreur : Relis dans le cours l'encadré « La demi-droite graduée ». Puis refais les exercices 5 et 9 de la fiche.

Quand mettre quel niveau

Exercice 5 : Comparer, ranger, encadrer

Réponse : a. 7 086 < 7 806. Les deux nombres ont quatre chiffres : on compare rang par rang, en commençant par la gauche, jusqu'au premier rang où ils diffèrent. b. 8 999 < 13 005 < 13 050 < 13 500. Le nombre 8 999 a quatre chiffres, les trois autres en ont cinq : il est donc le plus petit. c. 5 200 < 5 274 < 5 300.

En cas d'erreur : Relis dans le cours les encadrés « Comparer deux nombres entiers » et « Ranger et encadrer ». Puis refais les exercices 10 et 11 de la fiche.

Quand mettre quel niveau

Exercice 6 : L'erreur de Sam

Sam écrit : « 8 999 est plus grand que 13 005, parce que 8 est plus grand que 1. »

b. Expliquer en une phrase pourquoi son raisonnement ne fonctionne pas.

Réponse : a. Non. 8 999 < 13 005. b. On ne compare pas deux nombres entiers en regardant leur premier chiffre : on commence par compter les chiffres. 8 999 en a quatre, 13 005 en a cinq, donc 13 005 est le plus grand. Le chiffre 8 est un chiffre des milliers ; le chiffre 1 est un chiffre des dizaines de milliers, et il vaut davantage.

En cas d'erreur : Relis dans le cours les encadrés « La place change tout » et « Comparer deux nombres entiers ». Puis refais les exercices 8 et 10 de la fiche.

Quand mettre quel niveau

Exercice 7 : Ce que pèsent trois fichiers

Trois fichiers occupent de la mémoire. Leurs tailles sont annoncées différemment : une photo, 3200000 octets · une vidéo, un-milliard-huit-cents-millions d'octets · un morceau de musique, 15000000 octets.

a. Écrire les trois tailles en chiffres, avec les espaces.

Réponse : a. Photo 3 200 000 · vidéo 1 800 000 000 · musique 15 000 000. b. La photo (3 200 000) est la plus légère, puis la musique (15 000 000), puis la vidéo (1 800 000 000). La vidéo a dix chiffres, les deux autres en ont sept et huit. c. 3 millions : 3 200 000 = (3 × 1 000 000) + 200 000. Le nombre de millions se lit à gauche de la classe des millions.

En cas d'erreur : Relis dans le cours les encadrés « Lire les grands nombres » et « Comparer deux nombres entiers ». Puis refais les exercices 12 et 13 de la fiche.

Quand mettre quel niveau

Ce que j'imprime, et où ça se colle

Les élèves n'ont qu'un cahier : la leçon au recto, les exercices au verso. Rien de tout cela n'est imprimé sur leur feuille — c'est vous qui le dites en distribuant.

Ce qui est annoncé aux élèves

Je vais apprendre à…

• Dire ce que vaut un chiffre selon la place qu'il occupe dans un nombre.
• Lire, écrire et utiliser de très grands nombres, jusqu'aux milliards.
• Placer un nombre sur une demi-droite graduée, et lire celui qui est repéré. — consolidation du cours moyen
• Comparer deux nombres, les ranger du plus petit au plus grand, et encadrer un nombre. — consolidation du cours moyen

Je dois savoir…

• Je sais dire quel est le chiffre des dizaines, des centaines, des milliers… dans un nombre.
• Je sais dire combien il y a de dizaines, de centaines, de milliers… dans un nombre, et je ne le confonds pas avec le chiffre.
• Je sais écrire un grand nombre en chiffres quand on me le donne en lettres, et l'inverse.
• Je sais placer les espaces au bon endroit dans un grand nombre.
• Je sais décomposer un nombre, par exemple 4 837 = (4 × 1 000) + (8 × 100) + (3 × 10) + 7.
• Je sais placer un nombre sur une demi-droite graduée et lire un nombre repéré par une flèche.
• Je sais comparer deux nombres entiers et ranger une liste dans l'ordre croissant ou décroissant.
• Je sais encadrer un nombre entier, par exemple à la centaine.

Les sept séances

Séance 1 — La pochette du chapitre, et le premier calcul du jour

À distribuer : je me situe — ne pas coller. Dans la pochette. On la ressort pour clôturer le chapitre, quelques jours avant l'évaluation, et on colorie la seconde colonne.

À distribuer : plan de travail — ne pas coller. Dans la pochette, avec l'évaluation : c'est la feuille de route du chapitre. Je la ressors à chaque fois que je travaille, et je coche ce que j'ai fait.

Séance 2 — Tous les nombres avec les mêmes chiffres

À distribuer : cours à compléter — partie leçon (recto), toutes les pages

À distribuer : exercices — partie exercices (verso), toutes les pages

Séance 3 — La place d'un chiffre change sa valeur

Deux groupes de besoins. Objectif commun : Dire ce que vaut un chiffre selon la place qu'il occupe dans un nombre

• GI — besoins importants, M3 : GI, M3 (10 h 35), six élèves au maximum. Trois choses changent, et rien d'autre. ① Le tableau de numération est tracé à la craie avant leur entrée et reste affiché toute l'heure : chaque nombre y est posé colonne par colonne avant d'être écrit, en disant à voix haute « ce 5-là vaut cinq cents, celui-là vaut cinq ». ② La trace écrite se remplit un trou à la fois, on attend tout le monde, on relit chaque phrase une fois remplie. ③ Sur le plan de travail, ils font l'exercice 2 avec le tableau sous les yeux ; personne ne va plus loin dans l'heure.
• Gm — besoins modérés, M4 : Gm, M4 (11 h 30), environ vingt élèves. Même objectif, même trace écrite, mêmes exercices. ① Rien n'est tracé au tableau : celui qui veut un tableau de numération le trace lui-même dans son cahier, au moment où il en a besoin. ② La trace écrite se remplit seul, puis se corrige au tableau d'un bloc. ③ Sur le plan de travail, l'exercice 2 puis chacun poursuit SA ligne — l'exercice 12 si ça a marché, l'exercice 7 si ça a coincé. L'étayage porte sur la justification — « comment le prouves-tu ? » — et non sur la lecture du nombre.

Séance 4 — Les grands nombres — et on se met au travail

Séance 5 — Le chiffre des… ou le nombre de… ?

Séance 6 — Repérer, comparer, ranger — et la blanche part enfin

À distribuer : évaluation blanche — ne pas coller. C'est l'évaluation, avec d'autres nombres. L'élève la refait autant de fois qu'il veut ; le corrigé est dans la pochette CORRIGÉS, au fond de la classe. Rien n'est ramassé.

À distribuer : carte mentale — ne pas coller. À garder dans la pochette, ou à afficher à la maison. Chaque soir, je cache une branche et j'essaie de la redire.

Séance 7 — L'évaluation du chapitre

À distribuer : évaluation du chapitre (sujets A et B) — ne pas coller. À garder dans la pochette et à ressortir à chaque séance : c'est la feuille qui dit où on va.

Les rituels d'automatismes, et l'erreur que chacun vise

Aucun de ces rituels ne porte sur la notion du chapitre : en 6e, un automatisme porte uniquement sur un acquis du cours moyen, et il prépare ce qui vient. Trois variantes par item, pour que l'élève retienne la procédure et non la réponse.

Séance 1 — relations entre 1/1000, 1/100, 1/10 et 1 ; les tables de multiplication ; équivalences 1/10 = 0,1 ; 1/100 = 0,01 ;…

Relations entre 1/1000, 1/100, 1/10 et 1

Erreur visée : Croire qu'un numérateur plus grand donne un nombre plus grand. Ici le numérateur augmente et le nombre reste égal à 1, parce que les parts sont plus petites.

À faire verbaliser : Plus les parts sont petites, plus il en faut pour faire un entier : 10 dixièmes ou 100 centièmes, c'est le même 1.

Les tables de multiplication

Erreur visée : Reconstruire le produit par additions successives — 7, 14, 21… — au lieu de le restituer. La réponse finit par tomber, mais elle a consommé la mémoire de travail dont le problème avait besoin.

À faire verbaliser : Un produit se dit, il ne se calcule pas : 7 × 8, c'est 56, tout de suite.

Équivalences 1/10 = 0,1 ; 1/100 = 0,01 ; 1/1000 = 0,001

Erreur visée : Compter les zéros du dénominateur au lieu de placer le chiffre au bon rang : écrire 0,1 pour un centième.

À faire verbaliser : Un centième se place au deuxième rang après la virgule : le rang des dixièmes reste vide.

Séance 3 — passer d'une fraction décimale à une écriture… ; multiplier un nombre décimal par 1, 10, 100… ; diviser un nombre décimal par 1, 10, 100 ou 1…

Passer d'une fraction décimale à une écriture à virgule, et l'inverse

Erreur visée : Placer le chiffre au rang des dixièmes quel que soit le dénominateur : écrire 4,7 pour 4 + 7/100.

À faire verbaliser : Le dénominateur dit à quel rang se place le chiffre : sur 100, c'est le rang des centièmes.

Multiplier un nombre décimal par 1, 10, 100 ou 1 000

Erreur visée : Ajouter des zéros à droite sans faire changer les chiffres de rang : répondre 3,600, qui vaut encore 3,6.

À faire verbaliser : Multiplier par 100 fait changer chaque chiffre de deux rangs vers la gauche : les unités deviennent des centaines.

Diviser un nombre décimal par 1, 10, 100 ou 1 000

Erreur visée : Déplacer la virgule du mauvais côté, ou d'un seul rang : répondre 4,5 ou 4 500 pour 45 ÷ 100.

À faire verbaliser : Diviser par 100 fait changer chaque chiffre de deux rangs vers la droite : les unités deviennent des centièmes.

Séance 4 — lexique et codage des objets de base de la… ; reconnaître un carré, un rectangle, un… ; reconnaître si une figure a un ou plusieurs…

Lexique et codage des objets de base de la géométrie plane

Erreur visée : Prendre le codage pour une décoration, et aller mesurer à la règle une longueur que la figure donnait déjà.

À faire verbaliser : Un codage est une information : il dit ce qui est vrai sur la figure, même si le dessin n'est pas exact.

Reconnaître un carré, un rectangle, un triangle

Erreur visée : S'arrêter aux angles droits sans lire la condition sur les longueurs, et appeler « rectangle » un carré.

À faire verbaliser : Un carré est un rectangle particulier : il a en plus ses quatre côtés de même longueur.

Reconnaître si une figure a un ou plusieurs axes de symétrie

Erreur visée : Prendre une diagonale pour un axe : quatre axes attribués au rectangle, et un axe attribué au parallélogramme, qui n'en a aucun.

À faire verbaliser : On plie mentalement : le pli qui passe par le milieu des grands côtés marche, la diagonale non.

Séance 6 — coder des angles droits et des longueurs… ; reconnaître une fraction sur des… ; relations entre 1/4, 1/2, 3/4 et 1

Coder des angles droits et des longueurs égales

Erreur visée : N'en coder qu'une partie, comme si le codage était un exemple et non une information complète.

À faire verbaliser : Tout ce qui est vrai et utile se code. Ce qui n'est pas codé n'est pas su.

Reconnaître une fraction sur des représentations variées

Erreur visée : Mettre au dénominateur le nombre de parts non coloriées au lieu du nombre total de parts.

À faire verbaliser : Le dénominateur dit en combien de parts égales le tout est partagé ; le numérateur dit combien on en prend.

Relations entre 1/4, 1/2, 3/4 et 1

Erreur visée : Soustraire ou additionner les numérateurs sans se représenter le tout : répondre 1/4 pour 1 − 1/4.

À faire verbaliser : Un entier, c'est quatre quarts : on en enlève un, il en reste trois.

Séance 7 — passer d'une écriture fractionnaire à une… ; calculer une fraction d'une quantité ; lire l'heure sur un cadran à aiguilles ou un…

Passer d'une écriture fractionnaire à une écriture décimale

Erreur visée : Recopier les chiffres de la fraction au lieu de calculer le quotient : répondre 0,34 pour 3/4.

À faire verbaliser : Un quart vaut 0,25 ; trois quarts, c'est trois fois 0,25.

Calculer une fraction d'une quantité

Erreur visée : Inverser les deux étapes : diviser par le numérateur et multiplier par le dénominateur.

À faire verbaliser : On divise par le dénominateur pour obtenir une part, puis on multiplie par le numérateur.

Lire l'heure sur un cadran à aiguilles ou un affichage digital

Erreur visée : Lire la petite aiguille comme si elle pointait l'heure exacte, alors qu'elle a déjà avancé entre deux chiffres.

À faire verbaliser : La petite aiguille avance tout au long de l'heure : entre 4 et 5, il est 4 heures passées.

Ce que l'élève fait ensuite, selon son niveau

Ce texte est adressé à l'ÉLÈVE. Rien ici ne demande de relever quoi que ce soit : il lit son niveau sur sa copie et il sait vers quel parcours aller.

7 séances · 4 objectifs du programme, dont 2 neufs en 6e · période 1

Ce qu'il faut imprimer, et en combien d'exemplaires

À faire une fois, avant la séance 1.

• Aucune préparation matérielle. Pas d'étiquettes à imprimer, rien à découper.
• Les nombres de la séance 2 s'écrivent directement sur la fiche.
• La liste « Je dois savoir » n'est pas un document séparé.
• Elle est la dernière section du plan de travail, avec ses cases à cocher.

La pochette du chapitre — quatre feuilles, un seul geste

• Elles partent ensemble, séance 1, juste après le calcul du jour.
• Aucune ne se colle : elles vont dans la pochette et se ressortent.
• Ce qui coûte du temps n'est pas de distribuer, c'est de coller.
• Une pile passe en une minute ; un collage prend quatre minutes.
• La séance 1 n'en porte aucun : la pochette ne se colle pas.
• « Je me situe » se remplit deux fois : collée, on ne la retrouve plus.
• Le plan de travail arrive le premier jour : c'est une feuille de route.
• La blanche devait partir le premier jour ; elle est partie le lundi 14, séance 6.
• L'élève refait la blanche autant de fois qu'il veut ; le corrigé est dans la pochette.
• Il se corrige seul. Rien n'est ramassé.
• L'évaluation, elle, ne part que le jour de l'épreuve : lundi 21 septembre.

Le coin corrigé — qui corrige la fiche d'exercices, et quand

• Personne ne la ramasse, et vous ne la corrigez pas. L'élève le fait.
• Deux exemplaires du corrigé dans une pochette « CORRIGÉS », au fond.
• Il y va, il compare, il revient. C'est le ② du plan de travail.
• Le dire une fois, la première séance, en montrant l'endroit.
• Sans cet endroit, quatorze exercices ne sont corrigés par personne.
• Le corrigé est aussi en ligne, sur la page du chapitre.
• En classe, on corrige au tableau ce qu'on a cherché ENSEMBLE, rien d'autre.
• C'est l'activité d'ouverture de chaque séance, pas la fiche entière.
• Ce qui se choisit dans un plan de travail se vérifie tout seul.

Le calcul du jour — une fois par jour, pas une fois par heure

• Chaque séance qui en porte un a son lien ▶ projeter : une question en grand.
• Les nombres sont tirés au hasard : la série n'est jamais deux fois la même.
• La correction vient à la fin.
• L'adresse est imprimée sous le lien : elle se retape si rien ne s'ouvre.
• Les séances 2 et 5 n'en portent pas. Ce sont des secondes heures du même jour.
• Lundi 7 : il a lieu à 9 h 25. Jeudi 10 : à 9 h 25 aussi.
• Deux passages du même item à deux heures d'écart ne comptent pas pour deux.
• Aucun rituel ne porte sur les nombres entiers, et c'est la règle du programme.
• En 6e, un automatisme porte sur un acquis du cours moyen, jamais sur la leçon du jour.
• Ceux-ci préparent les décimaux du chapitre 4 et la géométrie du chapitre 2.

Séance par séance

CE CONDUCTEUR A ÉTÉ RECALÉ le 7 septembre 2026, puis le 13. Les séances 1 à 5 ne sont plus des prévisions : elles portent ce qui s'est réellement passé. Le chapitre a pris une séance, la blanche part le lundi 14, et l'évaluation est passée au lundi 21 septembre — le chapitre 2 commence le jeudi 17 à sa place.

Séance 1 — La pochette du chapitre, et le premier calcul du jour

Lundi 7 septembre, 9 h 25. Séance faite.

• L'heure n'a porté aucune leçon, et c'était inévitable.
• Le premier calcul du jour installe une mécanique, pas une connaissance.
• « Je me situe », trente-six items, sur un objet qu'ils découvrent.
• Le plan de travail a débordé sur l'heure suivante.
• Pour les chapitres suivants : le premier jour ne porte pas de leçon.

Séance 2 — Tous les nombres avec les mêmes chiffres

Lundi 7 septembre, 11 h 30 — seconde heure du jour. Séance faite.

• Un objet neuf s'explique deux fois : compter la reprise dans l'heure suivante.
• Coller coûte trois à quatre minutes par feuille. Deux collages par heure, maximum.
• La leçon n'a pas été écrite : c'est ce qui décale tout le chapitre.

Séance 3 — La place d'un chiffre change sa valeur

Mercredi 9 septembre, en groupes — GI à 10 h 35, Gm à 11 h 30.

• C'est la première trace écrite du chapitre, avec une séance de retard.
• La mise en commun ne cherche pas une réponse : elle cherche un mot.
• Écrire la définition avant que « place » ait été dit, c'est l'accrocher à rien.
• Le plan de travail ne s'explique pas, il se parcourt — une fois, en entier, devant eux.

Séance 4 — Les grands nombres, et on se met au travail

Jeudi 10 septembre, 9 h 25.

• « Les élèves n'ont pas beaucoup travaillé, il faut vraiment qu'on avance. » La recherche sur les distances des planètes est retirée : elle refaisait le travail de la lecture au tableau. Elle vit dans le plan de travail, ligne 2 — ils la font seuls.
• Écrire les espaces tout de suite, c'est offrir une règle sans problème à résoudre.
• Si le professeur corrige au tableau, la pochette CORRIGÉS ne sert plus jamais.
• « J'aimerais que mes élèves soient actifs sur papier aussi. » Les seize minutes se passent cahier ouvert, pas la feuille à la main : le numéro s'écrit, l'exercice se fait, le corrigé se va chercher debout.

Séance 5 — Le chiffre des… ou le nombre de… ?

Jeudi 10 septembre, 15 h — seconde heure du jour.

• La séance la plus contre-intuitive du chapitre. Beaucoup répondront 8 au lieu de 48.
• C'est l'écart entre 8 et 48 qui fait la leçon — il ressortira sur les décimaux.
• Les neuf minutes du rituel, qui n'a pas lieu, portent le Live Quiz.

Séance 6 — Repérer, comparer, ranger — et la blanche part enfin

Lundi 14 septembre, 9 h 25 — 35 minutes seulement : quart d'heure de lecture.

• C'est l'heure comprimée du chapitre : deux objectifs, trente-cinq minutes.
• Le corrigé de la blanche ne se distribue pas : deux exemplaires dans la pochette.
• Une partie de la classe a déjà fait l'exercice chez elle : cinq minutes, pas dix.
• Un point est une croix, pas un rond : le dire et le montrer en traçant.

Jeudi 17 — la clôture, au début de la première heure du chapitre 2

• 10 min : correction des exercices du cahier Transmath sur la demi-droite graduée.
• 5 min : « je me situe », seconde colonne — ressortie de la pochette.
• Le chapitre se ferme là : il reste quatre jours pour réviser avec la blanche.
• Le détail est dans le conducteur du chapitre 2, séance 1.

Séance 7 — L'évaluation du chapitre

Lundi 21 septembre, 9 h 25 — une heure pleine, sans quart d'heure de lecture.

• Le jour de l'épreuve ne porte que l'épreuve : « je me situe » s'est rempli jeudi.
• Aucune question n'y est nouvelle : elle ressemble à la blanche comme deux gouttes d'eau.
• Une évaluation annoncée ne se raccourcit pas : c'est la date qui a bougé.

Ce qu'on ne fait pas

• Pas de leçon le premier jour : il porte la pochette, le calcul du jour et le plan de travail.
• Une rentrée de 6e est lente : une séance, une idée — et le premier jour, aucune.
• On n'enseigne pas les décimaux ; on annonce que le tableau continue à droite.
• On ne ramasse rien d'autre que l'évaluation.
• On ne fait rien découper : dix minutes de perdues, et pas pour la leçon.

Ce qui reste à trancher

• Les trois séances « Évaluation 1 et remédiation » de fin de période.
• Chaque chapitre porte désormais sa propre évaluation.
• La remédiation pilotée est abandonnée : ces séances n'ont plus le même objet.
• Les deux séances de marge de la période 1 sont consommées par ce chapitre.
• Le passage au lundi 21 n'en consomme aucune : le chapitre 2 a pris le jeudi 17.

La place change tout

525 = (5 × 100) + (2 × 10) + (5 × 1)

Les deux chiffres 5 n'ont pas la même valeur. Celui de gauche vaut 500. Celui de droite vaut 5.

Le tableau de numération

Lire un grand nombre

Le nombre du tableau s'écrit 1 049 658 723.

Il se lit : un-milliard-quarante-neuf-millions-six-cent-cinquante-huit-mille-sept-cent-vingt-trois.

Le chiffre des millions est 9.

Le nombre de millions est 1 049.

Deux comparaisons

24 361 > 8 765 car 24 361 a 5 chiffres et 8 765 en a 4.

4 329 < 4 351 : même nombre de chiffres, alors on compare de gauche à droite. Les milliers sont égaux, les centaines sont égales, et 2 < 5.